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5.3三角函数的性质(精讲)
一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理:
1.正弦函数与余弦函数的图像画法
在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),(π,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),-1)),(2π,0).
在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),0)),(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|eq\f(π,2))一个周期内的简图时,要找五个关键点
x
-eq\f(φ,ω)
-eq\f(φ,ω)+eq\f(π,2ω)
eq\f(π-φ,ω)
eq\f(3π,2ω)-eq\f(φ,ω)
eq\f(2π-φ,ω)
ωx+φ
0
eq\f(π,2)
π
eq\f(3π,2)
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=eq\f(2π,ω)
f=eq\f(1,T)=eq\f(ω,2π)
ωx+φ
φ
二.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R,且))x≠kπ+eq\f(π,2)}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,2),))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2)))
[2kπ-π,2kπ]
eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,2)))
递减区间
eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(3π,2)))
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,2),0))
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))
对称轴方程
x=kπ+eq\f(π,2)
x=kπ
无
三.伸缩平移
1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω0,φ0)的变换:向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
求三角函数周期的方法
1.定义法;
2.公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=eq\f(2π,|ω|),函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=eq\f(π,|ω|);
3.图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
二.三角函数的定义域
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.
三.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型:
1.形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
2.形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
3.形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值);
4,形如y=eq\f(asinx+b,csinx+d),ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解求值域(最值).
四.三角函数的单调性
①先把ω化为正数
②化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间
③把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内解x.
三角函数的对称性
1.对称轴:对于可化为f(x)=Asi
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