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贵州省贵阳第一中学2023-2024学年高三第一次调研测试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()
A. B. C. D.
2.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()
A.2 B. C.1 D.
3.已知直线过双曲线C:的左焦点F,且与双曲线C在第二象限交于点A,若(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为
A. B. C. D.
4.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则()
A. B.
C. D.
5.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为
A. B.
C. D.
6.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()
A.-1 B.1 C.0 D.2
7.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()
A. B. C. D.大小关系不能确定
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B.3 C. D.4
9.已知,,,是球的球面上四个不同的点,若,且平面平面,则球的表面积为()
A. B. C. D.
10.函数在上单调递减的充要条件是()
A. B. C. D.
11.已知命题:使成立.则为()
A.均成立 B.均成立
C.使成立 D.使成立
12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()
A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm3
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.
14.已知,则的值为______.
15.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.
16.设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在矩形中,,,点分别是线段的中点,分别将沿折起,沿折起,使得重合于点,连结.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(12分)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线Γ上一点,且在第一象限,满足(2,2)
(1)求抛物线Γ的方程;
(2)已知经过点A(3,﹣2)的直线交抛物线Γ于M,N两点,经过定点B(3,﹣6)和M的直线与抛物线Γ交于另一点L,问直线NL是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.
19.(12分)为了解广大学生家长对校园食品安全的认识,某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查,每一位学生家长仅有一次参加机会,现对有效问卷进行整理,并随机抽取出了200份答卷,统计这些答卷的得分(满分:100分)制出的频率分布直方图如图所示,由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分服从正态分布,其中近似为这200人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).
(1)请利用正态分布的知识求;
(2)该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案:
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费:
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元)
概率
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人,请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费?
附:①;②若;则,,.
20.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)已知函数,.
(1)当时,
①求函数在点处的切线方程;
②比较与的大小;
(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.
22.(10分)已知矩阵,二阶矩阵满足.
(1)求矩阵;
(2)求矩阵的特征值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据程序框图知当时,循环终止,此时,即可得答案.
【详解】
,.运行第一次,,不成立,
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