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7.4空间距离(精练)
1.(2023·全国·高三专题练习)已知是棱长为1的正方体,则平面与平面的距离为.
【答案】
【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
可得,
因为,则,
所以,
因为平面,平面,平面,平面,
所以平面,平面,
又,平面,
所以平面平面,
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离,
设平面的法向量为,则,
令,可得,所以,
又因为,所以.
所以平面与平面的距离为.
故答案为:.
2.(2023·全国·高三专题练习)棱长为1的正方体如图所示,分别为直线上的动点,则线段长度的最小值为.
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设,当PQ为两异面直线的公垂线段时,PQ长度最短,此时PQ长度为MN的最小值,
则,
由,所以,所以,
所以
故答案为:.
3.(2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)如图,在菱形ABCD中,,,沿对角线BD将折起,使点A,C之间的距离为,若P,Q分别为线段BD,CA上的动点,则线段PQ的最小值为.
??
【答案】
【解析】取BD的中点E,连接AE,EC,则,,.
因为,所以,即.
以E为原点,分别以EB,EC,EA所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,.设,,
所以,
从而有,
当,时,.
??
4.(2023·全国·高三专题练习)如图,在正方体中,AB=1,M,N分别是棱AB,的中点,E是BD的中点,则异面直线,EN间的距离为.
【答案】
【解析】
以为原点,的方向为轴建立空间直角坐标系,易知,
,设同时垂直于,由,令,得,
又,则异面直线,EN间的距离为.
故答案为:.
5.(2022·全国·高三专题练习)如图,正四棱锥的棱长均为2,点E为侧棱PD的中点.若点M,N分别为直线AB,CE上的动点,则MN的最小值为.
【答案】
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系,则有:
,,,,,
可得:
设,且
则有:,
可得:
则有:
故
则当且仅当时,
故答案为:
6.(2023·全国·高三专题练习)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为.
【答案】
【解析】正方体的棱长为1,如图,以D为坐标原点,所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系,
则B(1,1,0),B1(1,1,1),,,∴=(0,0,1),,.
设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量,由,,
得,令x=2,则z=6,y=-7,∴,
设直线BM与B1N之间的距离为d,则d===.
故答案为:.
7.(2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习)如图所示,在四棱锥中,侧面是正三角形,且与底面垂直,平面,,是棱上的动点.
????
(1)当是棱的中点时,求证:平面;
(2)若,,求点到平面距离的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明:因为平面,平面,且平面平面,所以.
取的中点,连接、,
因为是棱的中点,所以,且,
因为且,所以,且,
所以,四边形为平行四边形,则,
因为平面,平面,所以平面.
(2)解:取的中点,连接.
因为是正三角形,所以.
又因为平面平面,平面平面,平面,
所以,平面,
因为,,为的中点,所以,且,
所以,四边形为平行四边形,则,
因为,则,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
??
则、、、,所以,
设,其中,
则,
设平面的法向量,
所以,
令,得,
设点到平面距离为,.
当时,;
当时,,则,
当且仅当时等号成立.
综上,点到平面距离的取值范围是.
8.(2022秋·福建泉州·高三校联考期中)如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线,交于点,,,,底面,设点是的中点.
??
(1)直线与平面所成角的正弦值;
(2)点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为四边形为菱形,所以,
又面,故以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系,如图,
??
因为,,,且为中点,
则,,,,,,
故,,,
设面的法向量为,则,
令,则,,故,
所以,
故直线与平面所成角的正弦值为;
(2)由(1)可知,面的一个法向量为,
所以点到平面的距离,
故点到平面的距离为.
9.(2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测)三棱台中,平面,,且,,是的中点.
??
(1)求三角形重心到直线的距离;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为,所以,,
在平面内过点作,建立如图所示空间直角坐标系,则
??
,,,,,
过点作,设,
.
则.
因为,
所以,解得,
所以,.
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