高中数学课件：第五章5-3-2第2课时　函数的最大小值.pptx

第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值函数的最大(小)值第1课时一、极值与最值的关系问题1如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？提示最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在.问题2开区间上的连续函数有最值吗？提示如图.容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到.最值存在定理：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.知识梳理注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.最小值定义：对于函数f(x)，给定区间I，若①对任意x∈I，f(x)≥m②存在x0∈I，使得f(x)＝m则称m为函数f(x)在区间I上的最小值；最大值定义：对于函数f(x)，给定区间I，若①对任意x∈I，f(x)≤M②存在x0∈I，使得f(x)＝M则称M为函数f(x)在区间I上的最大值.知识梳理二、求函数的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；解f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)?＋0－0＋0－?f(x)－60↗4↘3↗4↘－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.备用求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f′(x)＝6x2－12令f′(x)＝0，因为f(－2)＝8，f(3)＝18，当x＝3时，f(x)取得最大值18.例1(2)求函数f(x)＝x＋2sinx，x∈[0,2π]的最值：解f′(x)＝1＋2cosx，令f′(x)＝0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.xf′(x)＋－＋f(x)↗↘↗所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝2π.反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)列表或文字叙述函数单调性、极值、端点值.(4)将所求极值与区间端点的函数值进行比较，确定最值.跟踪训练求下列函数的最值:(1)f(x)＝(x－1)e－x，(2)f(x)＝2sinx＋sin2x.解(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝(2－x)e－x当f′(x)＝0时，x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.(2)f(x)＝2sinx＋sin2x.解f(x)是周期为2π的奇函数，考虑一个周期内的最值.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.xf′(x)＋0－0－0＋f(x)0↗↘0↘↗第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值函数的最大(小)值第2课时例1.已知函数，f(x)在[1,4]上的最小值为，求在该区间上的最大值.变式.已知函数f(x)=ax－lnx(a∈R)的最小值为3，求a实数的值.?例2.已知函数f(x)=x3－kx2＋x(k∈R)，当k0时，求函数f(x)在[k,k]上的最小值m和最大值M.变式2若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最大值，求实数a的取值范围.结论：若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的极值点为x1，x2(x1x2)，f(x1)＝f(n)，f(x2)＝f(m)，且则变式3(2013·浙江)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3．当x∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值．例3利用导数研究下列函数的性质，并作出它们的图象：例3利用导数研究下列函数的性质，并作出它们的图象：例3利用导数研究下列函数的性质，并作出它们的图象：第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值函数的最大(小)值第3课时三、最值与不等式证明、恒成立例2.已知不等式ex－1≥kx＋lnx对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求k的最大值.解析?x∈(0，