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坐标平面上的直线知识点归纳

坐标平面上的直线知识点归纳

一、直线的倾斜角和斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是；

（2）直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，

①斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

③斜率计算公式：

设经过和两点的直线的斜率为，

则当时，；当时，；斜率不存在；

二、直线方程的几种形式：

（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：；

注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；

②表示：直线上除去的图形。

（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：；

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向

；；

点对应的参数为，则；

（为参数）其中方向向量为，的几何意义为；斜率为；倾斜角为。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：，，（单位向量）

直线的法向量：；（与直线垂直的向量）

三、两直线的位置关系：

位置关系

平行

，且

重合

，且

相交

垂直

设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如

②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线垂直。

③对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角

（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是；

注意：①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；

③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是；

（3）设两直线方程分别为：或

①若为到的角，或；

②若为和的夹角，则或；

③当或时，；

注意：①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

②直线到的角与和的夹角：或；

五、点到直线的距离公式：

设点和直线，点到的距离为：；

两平行线，的距离为：；

六、直线系：

（1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）；

如：①，即也就是过与的交点除去的直线方程。

注意：推广到过曲线与的交点的方程为：；

（2）与平行的直线为；

（3）与垂直的直线为；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

②直线关于直线对称：（设关于对称）

Ⅰ、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。

Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。