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北师大版--八年级-下数学第一章

第一章三角形的证明

1.1、等腰三角形（一)

主备人：姚剑峰审核：初二年级组教研组

【目标导航】

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

【自主预习】

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

【交流展示】

在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

本套教材选用如下命题作为公理:

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

证明过程：

北师大版--八年级-下数学第一章全文共1页，当前为第1页。已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

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求证：△ABC≌△DEF

证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）

∠C=180°-(∠A+∠B)

∠F=180°-(∠D+∠E)

∠C=∠F（等量代换）

BC=EF（已知）

△ABC≌△DEF（ASA）

这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

【归纳整理】

（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。

定理：等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：等边对等角。

已知：如图，在ABC中，AB＝AC。

求证：∠B＝∠C

证明：取BC的中点D，连接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)

【巩固拓展】

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？

北师大版--八年级-下数学第一章全文共2页，当前为第2页。由此你能得到什么结论？

北师大版--八年级-下数学第一章全文共2页，当前为第2页。

应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形（二)

【目标导航】

等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

【自主预习】

等腰三角形性质的探究

让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。

EDCBA分别演示：

E

D

C

B

A

中,∠ABD=

∠ABC,∠ACE=∠ACB,k=,时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。

【交流展示】，

对于上述例题，当AD=AC,AE=AB,k=,时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。

引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。

对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。

提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?培养学生的推理能力。

【归纳整理】

学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。

【巩固拓展】

启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。

1.1等腰三角形（3）

【目标导航】：

北师大版--八年级-下数学第一章全文共3页，当前为第3页。1.能够用综合法