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2022-2023学年北京市衡中清大教育集团高三下学期“扬帆起航”数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.()
A. B. C. D.
2.用一个平面去截正方体,则截面不可能是()
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
3.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()
A.1 B. C.2 D.
4.如图,抛物线:的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,若直线与以为圆心,线段(为坐标原点)长为半径的圆交于,两点,则关于值的说法正确的是()
A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定
5.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()
A. B. C. D.
6.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A. B. C. D.
7.是边长为的等边三角形,、分别为、的中点,沿把折起,使点翻折到点的位置,连接、,当四棱锥的外接球的表面积最小时,四棱锥的体积为()
A. B. C. D.
8.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()
A. B. C. D.
9.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()
A. B. C.- D.-
10.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
11.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()
A. B.
C. D.
12.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()
A.点M在圆C上 B.点M在圆C外
C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在四面体中,与都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.
14.记为数列的前项和.若,则______.
15.已知三棱锥,,是边长为4的正三角形,,分别是、的中点,为棱上一动点(点除外),,若异面直线与所成的角为,且,则______.
16.集合,,则_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对恒成立,求的取值范围.
18.(12分)设实数满足.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,,求证:.
19.(12分)在平面直角坐标系中,直线与抛物线:交于,两点,且当时,.
(1)求的值;
(2)设线段的中点为,抛物线在点处的切线与的准线交于点,证明:轴.
20.(12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点,.
(1)当时,求的面积;
(2)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.
21.(12分)已知,均为正数,且.证明:
(1);
(2).
22.(10分)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,丄底面.
(1)证明:平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
.
故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
2、C
【解析】
试题分析:画出截面图形如图
显然A正三角形,B正方形:D正六边形,可以画出五边形但不是正五边形;故选C.
考点:平面的基本性质及推论.
3、B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示,,,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).
故选:B.
【点睛】
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