几何最值问题2种题型（16种模型）—2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）.pdf

几何最值问题2种题型

（将军饮马与蚂蚁爬行，16种模型）

目录

题型01将军饮马

题型02蚂蚁爬行

题型01将军饮马

模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含

着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.

问如何行走才能使总的路程最短.

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短.

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿

营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.

【将军饮马之模型一专项训练】

1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作

弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△面积

为10，则BM+MD长度的最小值为（）

5

A．B．3C．4D．5

2

【答案】D

【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如

图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后

利用三角形面积公式计算出AD即可．

【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，

∴MB＝MA，

∴BM+MD＝MA+MD，

连接MA、DA，如图，

∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），

∴MA+MD的最小值为AD，

∵AB＝AC，D点为BC的中点，

∴AD⊥BC，

1

∵△=·=10,

2

10×2

∴==5,

4

∴BM+MD长度的最小值为5．

故选：D．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之

间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．

2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形的面积为12，△是等边三角形，点E在正

方形内，在对角线上有一点P，使+的和最小，则这个最小值为（）

A．43B．23C．6D．3

√√√√

【答案】B

【分析】连接，，根据点B与D关于对称，得出=，从而得出+=+≥，

即+最小值为值为的长，求出的长即可．

【详解】解：连接，，如图所示：

∵四边形为正方形，

∴点B与D关于对称，

∴=，

∴+=+≥，

∴+最小值为的长，

∵正方形的面积为12，

∴=√12=2√3，

又∵△是等边三角形，

∴==2√3，

∴+最小值为2√3，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的

性质得出的长为+的最小值．

3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为(2,0),(0,2)，点C为坐标平面内一点，=1，

点M为线段的中点，连接，则的最大值为（）

11

A