量子力学-全套完整版-课件.pptVIP

致谢本课件制作参考自“北京大学量子力学课件”，在此表示感谢！！！设体系的Hamilton量H的本征值由小到大顺序排列为：E0E1E2......En......|ψ0|ψ1|ψ2.........|ψn......上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中E0、|ψ0分别为基态能量和基态波函数。（一）能量的平均值为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即设|ψ是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：证：则这个不等式表明，用任意波函数|ψ计算出的平均值H总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值H才等于基态能量。若|ψ未归一化，则插入单位算符基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；|ψ→|ψ(1),|ψ(2),......,|ψ(k),......称为试探波函数，来计算其中最小的一个就最接近基态能量E0，即如果选取的试探波函数越接近基态波函数，则H的平均值就越接近基态能量E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1）试探波函数|ψ与|ψ0之间的偏差和平均值 H与E0之间偏差的关系；（2）如何寻找试探波函数。 由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数，H就越接近基态能量E0.那末，由于试探波函数选取上的偏差[|ψ-|ψ0]会引起[H-E0]的多大偏差呢？ 为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：其中α是一常数，|ψ是任一波函数，满足|ψ0所满足的同样的边界条件。显然|?有各种各样的选取方式，通过引入α|?就可构造出在|ψ0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：（二）H与E0的偏差 和试探波函数的关系 上式结果表明，展开式中，ann(1)|ψn(0)项的存在只不过是使整个态矢量|ψn增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取?=0，即ann(1)=0。这样一来，与求态矢的一阶修正一样，将|ψn(2)按|ψn(0)展开：与|ψn(1)展开式一起代入关于?2的第三式（三）能量的二阶修正左乘态矢ψm(0)|1.当m=n时在推导中使用了微扰矩阵的厄密性正交归一性2.当m≠n时能量的二级修正在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：这就是本节开始时提到的关于H’很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。（四）微扰理论适用条件微扰适用条件表明：（2）|En(0)–Ek(0)|要大，即能级间距要宽。例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即En=-μZ2e2/2?2n2(n=1,2,3,...)由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。（1）|H’kn|=|ψk(0)|H’|ψn(0)|要小，即微扰矩阵元要小；表明扰动态矢|ψn可以看成是未扰动态矢|ψk(0)的线性叠加。（2）展开系数H’kn/(En(0)-Ek(0))表明第k个未扰动态矢|ψk(0)对第n个扰动态矢|ψn的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|ψk(0)混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。（3）由En=En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量H’在未微扰态|ψn(0)中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。（4）对满足适用条件微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正H’nn=0就需要求二级修正，态矢求到一级修正即可。（5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ