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杨浦区2023学年度第二学期高三年级模拟质量调研
数学试卷
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有21道题,满分150分,考试时间120分钟.
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.已知集合,,则________.
2.设抛物线的准线方程为__________.
3.计算________(其中为虚数单位).
4.若,则__________.
5.已知二项式,其展开式中含项的系数为________.
6.各项为正的等比数列满足:,,则通项公式为________.
7.正方体中,异面直线与所成角的大小为________.
8.若函数为奇函数,则函数,的值域为________.
9.设复数与所对应的点为与,若,,则________.
10.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动,若每天从这5人中安排2人参加,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.
11.某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2024根,每根圆钢的直径为10厘米.现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形(如图每一层的根数比上一层根数多1根),且为考虑安全隐患,堆放高度不得高于米,若堆放占用场地面积最小,则最下层圆钢根数为________.
12.已知实数满足:①;②存在实数,使得,,是等差数列,,,也是等差数列.则实数的取值范围是________.
二、选择题(本题共有4题,满分18分,13、14每题4分,15、16每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.下列函数中,在区间上为严格增函数的是()
A B. C. D.
14.已知实数,,,满足:,则下列不等式一定正确的是()
A B. C. D.
15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布(试卷满分为150分).统计结果显示,考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为()
A.350 B.400 C.450 D.500
16.平面上的向量、满足:,,.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论:
①对任意,存在该平面的向量,满足
②对任意,存在该平面向量,满足
则下面判断正确的为()
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①正确,②正确 D.①错误,②错误
三、解答题(本大题满分78分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.如图,为圆锥顶点,为底面中心,,,均在底面圆周上,且为等边三角形.
(1)求证:平面平面;
(2)若圆锥底面半径为2,高为,求点到平面的距离.
18.已知.
(1)若的最小正周期为,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)已知,中,,,分别是角,,所对边,若,,,求的值.
19.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”,否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:分钟)绘制了如下茎叶图:
(1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数;
(2)独立地从两种生产方式中各选出一个人,求选出的两个人均为优秀的概率;
(3)根据工人完成生产任务的工作时间,两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表:
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
优秀
合格
总计
根据上面的2×2列联表,判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异?(.其中,).
20.已知椭圆:的上顶点为,离心率,过点的直线与椭圆交于,两点,直线、分别与轴交于点、.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知命题“对任意直线,线段的中点为定点”为真命题,求的重心坐标;
(3)是否存在直线,使得?若存在,求出所有满足条件直线的方程;若不存在,请说明理由.(其中、分别表示、的面积)
21.函数、的定义域均为,若对任意两个不同的实数,,均有或成立,则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
参考答案
一、填空题(
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