综合训练05三角函数（16种题型60题专练）（解析版）.docx

综合训练05三角函数（16种题型60题专练）

一．扇形面积公式（共3小题）

1．（2022?甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）

A． B． C． D．

【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+得答案．

【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，

∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，

∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，

∴s＝AB+＝2+＝2+＝．

故选：B．

【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．

2．（2023?青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+?+Sn＝（1﹣）．

【分析】如图，设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知{Sn}是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解．

【解答】解：如图，设圆O1与弧AB相切于点D，

圆O1，圆O2与OA分别切于点C，E，则O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．

设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．

因为，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，

则，即，解得r1＝1．

在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，

则，即，解得．

同理可得，，

所以{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列．

又圆的面积为S＝πr2，

所以面积S1，S2，S3，…，Sn构成一个以为首项，以为公比的等比数列，

则．

故答案为：．

【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题．

3．（2023?柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，则扇形OAC的面积为．

【分析】根据已知条件将R表示出来，直接打入扇形OAC的面积公式即可．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，设所在圆的半径为R，

则|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝α，|AC|＝m，

所以|AD|＝mcosα，|CD|＝msinα，

所以，|OD|＝R﹣mcosα．

在Rt△ODC中，有|CD|2+|OD|2＝|OC|2，

∴（msinα）2+（R﹣mcosα）2＝R2，

整理可得，R＝，

因为|AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝π﹣2α，

所以，扇形OAC的面积为S＝（π﹣2α）R2＝．

故答案为：．

【点评】本题考查扇形的面积，属于中档题．

二．任意角的三角函数的定义（共2小题）

4．（2023?重庆模拟）若点在角α的终边上，则cos2α＝．

【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．

【解答】解：因为点，即在角α的终边上，且|OM|＝1，

所以，则．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．

5．（2023?江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为．

【分析】利用三角函数定义可知，射线OA对应的角α满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为．

【解答】解：易知在单位圆上，记终边在射线OA上的角为α，如下图所示：

根据三角函数定义可知，，

OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则终边在射线OB上的角为，

所以点B的横坐标为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．

三．三角函数线（共1小题）

6．（2022?甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）

A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b

【分析】构造函数f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．

【解答】解：设f（x）＝cosx