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随机变量及其分布
一、离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X可能取的值为,X取每一个值的概率,则称以下表格
X
x1
x2
…
…
P
p1
p2
…
…
为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列.
离散型随机变量的分布列具有下述两特性质:
常见的两种分布:
1.两点分布
假设随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1
p
则称X听从两点分布,并称为胜利概率.
2.超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事务发生的概率为:
则随机变量X的概率分布列如下:
X
0
1
…
m
P
…
。
注:超几何分布的模型是不放回抽样
二、条件概率
一般地,设为两个事务,且,称为在事务A发生的条件下,事务B发生的条件概率.
三、互相独立事务
设A,B两个事务,假设事务A是否发生对事务B发生的概率没有影响(即),则称事务A及事务B互相独立。
一般地,假设事务A12,…两两互相独立,则这n个事务同时发生的概率,等于每个事务发生的概率的积,即.
注:(1)互斥事务:指同一次试验中的两个事务不行能同时发生;
互相独立事务:指在不同试验下的两个事务互不影响.
四、n次独立重复试验
一般地,在一样条件下,重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
在次独立重复试验中,记是“第次试验的结果〞,明显,
“一样条件下〞等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响
注:独立重复试验模型满意以下三方面特征
第一:每次试验是在同样条件下进展;
第二:各次试验中的事务是互相独立的;
第三:每次试验都只有两种结果,即事务要么发生,要么不发生.
五、二项分布
一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事务A发生的次数,设每次试验中事务A发生的概率为p,则
X
0
1
…
k
…
n
P
…
…
此时称随机变量X听从二项分布,记作,并称p为胜利概率.
六、离散随机变量的均值〔数学期望〕
一般地,随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
…
…
P
p1
p2
…
…
则称
.
1.假设,其中a,b为常数,则Y也是变量
Y
…
…
P
p1
p2
…
…
则,即
2.一般地,假设随机变量X听从两点分布,则
即假设X听从两点分布,则
假设,则
七、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,假设离散型随机变量x的概率分布列为
X
x1
x2
…
…
P
p1
p2
…
…
1.假设X听从两点分布,则
2.假设,则
3.
正态分布
1.正态分布一般记为N(μ,σ2).
μ为正态分布的均值;
σ是正态分布的标准差
2.结合正态曲线,归纳其以下性质:
(1)曲线在x轴的上方,及x轴不相交.
(2)曲线关于直线x=μ对称.
(3)当x=μ时,曲线位于最高点.
(4)当x<μ时,曲线上升(增函数);当x>μ时,曲线下降(减函数).并且当曲线向左、右两边无限延长时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
(5)μ确定时,曲线的形态由σ确定.
σ越大,曲线越“矮胖〞,总体分布越分散;
σ越小,曲线越“高〞,总体分布越集中;
3.3σ原则:
对于正态总体取值的概率:
练习:
1.正态分布有两个参数及,()相应的正态曲线的形态越扁平。
A.越大B.越小C.越大D.越小
2.在一次英语考试中,考试的成果听从正态分布,则考试成果在区间内的概率是
A.0.6826B.0.3174C.0.9544D.0.9974
3.假设x~N(0,1),求P(x>2).P(x<-1).
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