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2024届江西省上饶市民校考试联盟高三下学期联考数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()
A.3 B. C. D.
2.如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,且,,则与面所成角的正弦值等于()
A. B. C. D.
3.已知集合,,若,则()
A. B. C. D.
4.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,则的最小值是()
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()
A.16 B.18 C.20 D.15
6.在中,角所对的边分别为,已知,则()
A.或 B. C. D.或
7.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()
A.45 B.50 C.55 D.60
8.定义,已知函数,,则函数的最小值为()
A. B. C. D.
9.设是虚数单位,,,则()
A. B. C.1 D.2
10.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()
A. B. C. D.
11.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
12.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().
A. B.9 C.5 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围有___________.
14.已知平面向量,的夹角为,且,则=____
15.运行下面的算法伪代码,输出的结果为_____.
16.在四面体中,分别是的中点.则下述结论:
①四面体的体积为;
②异面直线所成角的正弦值为;
③四面体外接球的表面积为;
④若用一个与直线垂直,且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为.
其中正确的有_____.(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图所示,在四棱锥中,∥,,点分别为的中点.
(1)证明:∥面;
(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.
18.(12分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.
19.(12分)在角中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若.
(1)求角A;
(2)若的面积为,求的周长.
20.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于,两点,与轴交于点,求.
22.(10分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款).
已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.
(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还
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