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专题突破练19统计与概率解答题

1.为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表.

大棚面积x/公顷

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

年利润y/万元

6

7

7.4

8.1

8.9

9.6

11.1

(1)画出散点图,并求y关于x的经验回归方程;

(2)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0公顷,估计小明家的大棚当年的利润为多少?

(3)另外调查了近5年的不同蔬菜每公顷平均利润(单位:万元),其中无丝豆为1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒为1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种蔬菜比较好?

参考数据:∑i=17xiyi=359.6,∑i=17(xi-

参考公式:b^

2.(2022·新高考Ⅰ,20改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据.

群体分类

卫生习惯

不够良好

良好

病例组

40

60

对照组

10

90

(1)依据小概率值α=0.010的独立性检验,分析数据,能否据此认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|

①证明:R=P(

②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.

附:χ2=n(ad-

α

0.050

0.010

0.001

xα

3.841

6.635

10.828

3.(2023·江西五市九校联考)某企业对生产设备进行优化升级,升级后的设备控制系统由2k-1(k∈N*)个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为p(0p1),各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时,设备正常运行,否则设备停止运行,记设备正常运行的概率为pk(例如:p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率,p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率).

(1)若p=23,当k=2时,求控制系统中正常工作的元件个数X

(2)已知设备升级前,单位时间的产量为a件,每件产品的利润为1元,设备升级后,在正常运行状态下,单位时间的产量是原来的4倍,且出现了高端产品,每件产品成为高端产品的概率为14,每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y(单位:元)

①请用pk表示E(Y);

②设备升级后,在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下,分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.

专题突破练19统计与概率解答题

1.解(1)画出散点图如图所示.

由散点图知,y与x具有线性相关关系.

根据题意,x=6,y=8.3,则7xy=348

b^=∑

a^=y?b^x≈8.3-1

所以经验回归方程为y^=1.571x-1.126

(2)将x=8.0代入方程得y^=1.571×8.0-1.126=11.442,即小明家的“超级蔬菜大棚”当年的利润大约为11.442万元

(3)近5年来,无丝豆每公顷平均利润的平均数为m=1.5+1

方差s12=15[(1.5-2)2+(1.7-2)2+(2.1-2)2+(2.2-2)2+(2.5-2)2]

彩椒每公顷平均利润的平均数为n=1.8+1

方差s22=15[(1.8-2)2+(1.9-2)2+(1.9-2)2+(2.2-2)2+(2.2-2)2]

因为m=n,s12

2.解(1)由题意可知,n=200,

零假设为H0:是否患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异.

χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+

依据小概率值α=0.010的独立性检验,推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)①证明:R=P

=P

②P(A|B)=P(AB)P

P(A|B)=P(AB)

同理P(A|B)=P(A

P(A|B)=P(AB)

∴R=P(A|

∴指标R的估计值为6.

3.解(1)因为k=2,所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3.

因为每个元件的工作相互独立,且正常工作的概率均为p=23

所以X~B(3,23

所以P(X=0)=C30×(23)0×(13

P(X=1)=C31×(23)1×(13

P(X=2)=C32×(23)2×(13

P(X=3)=C33×(23)3×(13

所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为

X

0

1

2

3

P

1

2

4

8

控制系统中正常