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矩阵和行列式复习

知识梳理

矩阵：像 ，

矩阵：像 ，

，

的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A、B、

C…表示

三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵；

①矩阵行的个数在前。

②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。行向量、列向量

单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵

增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。

矩阵的运算

【矩阵加法】

不同阶的矩阵不可以相加；

?A A ?

?B B ?

A?B??A ?B

A ?B ?

??A?? 11 12?

?

?

B?? 11 12?

? 11 11

12 12?

记 ?A A ?，

21 22

?B B ?

21 22

，那么

A ?B

21 21

A ?B ，

22 22

【矩阵乘法】，

=?

=?

?ABAB

11 1 2

?

?ABAB?

?；

?A B ?A B A B ?A B ?

AB?? 11 11 12 21 11 12 12 22?

??A B ?A B A B ?A B

?

?

21 11 22 21 21 12 22 22

【矩阵的数乘】kA?Ak?(ka).

ij

相似变换的变换矩阵特点：k等

相似变换的变换矩阵特点：k

等

轴对称变换的变换矩阵：

、

、

等

旋转变换的变换矩阵：等

旋转变换的变换矩阵：

等

【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式；

行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。

行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。

d

二阶行列式的值D?

c

展开式ac-bd

?ac?bd

【二元线性方程组】

?ax?by?c

??D?x?D

对于二元一次方程组?1 1 1，通过加减消元法转化为方程组??x

??ax?b

?

?

2 2

y?c

2

?D?y?D

y

aa其中D?

a

a

b ,D ?c

b ,D ?a c

11111b x c b

1

1

1

1

1

方程的解为2 2 2 2

方程的解为

y a c

2 2

用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。

D?0，方程组（*）有唯一解；

D?0

○1 D,D

x y

中至少有一个不为零，方程组（*）无解；

○2 D ?D

x y

?0，方程组（*）有无穷多解。

1系数行列式D?a

1

a

2

b

1也为二元一次方程组解的判别式。

b

2

三阶行列式

三阶行列式展开式及化简

a a

1 2

123123231312

1

2

3

123

231

312

321

213

c

c

c

1

2

3

a

3b ?abc

3

abc

abc

?(abc

abc

abc)

132

（对角线法则）

三阶行列式的几何意义：直角坐标系中A、B、C三点共线的充要条件(沪教P95)

【余子式】把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；添上符号（-1）i+j后为代数余子式。

，方程组（

，方程组（*）有唯一解；

其中A1=,A2=-

其中A1=

,A2=-

,A3=

,分别为a1,a2,a3的代数余子式。

=a1A1+a2A2+a3A3

设三元一次方程组，其中x、y

设三元一次方程组

，其中x、y、z是未知数，通过加减消元化简为

,

巩固习题

1. （

2018上海数学）行列式4 1的值为 ．

2 5

2. （2017

2. （2017上海数学）关于x、y的二元一次方程组

的系数行列式D

3. （2015上海数学）若线性方程组的增广矩阵为

解为

，则

c1-c2= 。

4. 函数f(x)?

2 cosx

sinx ?1

的值域是 .

5.点(2018

5.

点

(2018江苏数学)已知矩阵A=

，求点P的坐标．

已知x2=0，xy=1，则y=

，若点P在矩阵对应的变换作用下得到

6.

11

11

.

7. 若行列式

中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是

8. 行列式所有可能的值中，最大的是

8. 行列式

所有可能的值中，最大的是

9. 在n行n列矩阵中，记位