3.3 垂径定理（1）【浙教版初中数学九年级上册】.ppt

3.3垂径定理（1）

创设情境,引入新课复习提问:（２）正三角形是轴对称性图形吗？（１）什么是轴对称图形（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。有几条对称轴？是３

在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。强调：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）X（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.（2）圆的对称轴有无数条.OCD合作交流,探究新知一自主探究结论：

１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？ABEOCD二合作学习解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒２.请你用命题的形式表述你的结论.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

ABEOCD∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．解已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．求证：EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结ＯＡ，ＯＢ.如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折，那么被ＣＤ分成的两个半圆互相重合.∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，∴线段EA与线段EB重合.⌒⌒⌒⌒∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？

４.圆的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言叙述:∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒结论2：ABOCDE条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧AB结论分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.

三概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）１.直径垂直于弦∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒ABOCDE直径平分弦所对的弧直径平分弦2.分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.⌒⌒∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）垂径定理的几何语言叙述:（条件）（结论）

垂径定理的几个基本图形

作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．CDABE例1已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点的概念）⌒分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.⌒⌒

题后小结：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；．OABCrd2．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？答:在同一个圆中，弦心距越长,所对应的弦就越短;弦心距越短,所对应的弦就越长.CABOD.

２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度．CDＦ解：因为ＯＥ⊥ＣＤ，过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，⌒OＥ所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）连结ＯＤ．做一做

3、已知：如图，⊙O中，AB为弦，OC⊥ABOC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径.331做一做

４.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明理由．ＡＣ与ＢＤ相等。理由如下：解：过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ，则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，即ＡＣ＝ＢＤ．OCDＡＢＥ同心圆是指两个圆的圆心相同做一做

做一做5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。求证：AC=BD⌒⌒

师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（2）半径（r)、半弦、弦心