培优课　三角恒等变换中的求值与求角问题题型总结.doc

培优课三角恒等变换中的求值与求角问题题型总结

在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值及求角，这类问题一般有两种思路来解决，一个是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知的三角函数值靠拢，利用已知角的和差、倍分将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，这里重点研究第二种思路，就要求熟练掌握三角恒等变换公式，并且会凑角，会求角的范围.

类型一给值求值问题

【例1】已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是________.

答案－eq\f(4,5)

解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosα＋\f(\r(3),2)sinα))

＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)eq\r(3).

∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5).

∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7,6)π))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).

【例2】已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)，2sin\f(x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)－sin\f(x,2)，\r(3)cos\f(x,2)))，函数f(x)＝a·b.若α，β为锐角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，f(β)＝eq\f(6,5)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值.

解f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)－sin\f(x,2)))＋2sineq\f(x,2)·eq\r(3)coseq\f(x,2)＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)＋eq\r(3)sinx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).

由α，β为锐角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，得sin(α＋β)＝eq\f(5,13).

∵0<β<eq\f(π,2)，

∴eq\f(π,6)<β＋eq\f(π,6)<eq\f(2,3)π，

又由f(β)＝eq\f(6,5)，得

sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，

∴eq\f(π,6)<β＋eq\f(π,6)<eq\f(π,4)，

∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，

coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))))

＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝eq\f(63,65).

∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\