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山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则（????）

A． B． C．16 D．-16

2．下列两个变量之间的关系是相关关系的是（????）

A．正方形的边长与对角线长 B．球的体积与表面积

C．一个人的身高与学习成绩 D．平均学习时间与学习成绩

3．已知等差数列的前项和为，若，，则（????）

A．54 B．63 C．72 D．135

4．下列函数的导数运算正确的是（????）

A． B．

C． D．

5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（????）

男生

女生

篮球迷

30

15

非篮球迷

45

10

附:，

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

A．没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关

B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关

C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地."则该人第一天走的路程为（????）

A．120里 B．148里 C．96里 D．192里

7．某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（????）

A． B． C． D．

8．对于定义域为的可导函数，若满足，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．如图是函数的导函数的图象，则（????）

A．在上是增函数 B．在上是减函数

C．在上是增函数 D．在上是减函数

10．设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（????）

A．与正相关的充要条件是 B．直线过点

C．与之间的相关系数为 D．当增大一个单位时，增大个单位

11．已知数列满足，则（????）

A．若，则数列为常数列

B．若，则对任意，有

C．若，则对任意，有

D．若，则对任意

三、填空题

12．已知随机变量，且，则.

13．设函数，若函数在上是增函数，则的取值范围是.

14．某学校数学实践小组为该校一块长方形空地设计种树方案，在坐标纸上设计如下:第棵树种在点处，其中，当时，，[]表示不大于x的最大整数，按此设计方案，第3株树种植点的坐标为;第2025棵树种植点的坐标为.

四、解答题

15．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性.

16．已知数列的前项和.

(1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由;

(2)记数列的前项和为，若，求.

17．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名男生测量身高，测量发现被测学生的身高全部介于到之间，将测量结果按如下方式分成6组:第1组，第2组，第6组[180，184].如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)试估计该校高三年级男生的平均身高（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)求这50名男生身高在以上（含）的人数；

(3)从这50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，将这2人中身高在（含以上的人数记为，求的分布列及数学期望.

18．数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.

(1)求的值;

(2)求数列的通项公式:

(3)求数列的前项和.

19．信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.

(1)当时，计算；

(2)当时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；

(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.

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答案