两角和与差的正弦余弦正切公式.docx

第

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两角和与差的正弦余弦正切公式

教学目标

能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)

能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)

掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 两角和与差的余弦公式

阅读教材P

“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.

名称简记符号

名称

简记符号

公式

使用条件

cos(α－β)＝cos

两角差的余弦公式

C

(α－β)

αcos β＋sin

α，β∈R

αsin β

cos(α＋β)＝cos

两角和的余弦公式

C

(α＋β)

αcos β－sin

α，β∈R

αsin β

cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于 ．

【解析】 逆用两角和的余弦公式可得

cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.

【答案】 0

教材整理2 两角和与差的正弦公式

128阅读教材P “探究”以下内容，完成下列问题．

128

公式

名称

两角和的正弦

简记符号

S

(α＋β)

公式sin(α＋β)＝sin αcosβ＋cos αsin β

sin(α－β)＝sin αcos

使用条件

α、β∈R

两角差的正弦 S

(α－β)

β－cos αsin β

α、β∈R

重要结论－辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos

θ＝ a ，sin θ＝ b ．

a2＋b2 a2＋b2

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )

(3)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )

(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.( )

解：(1)√.根据公式的推导过程可得．

√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.

×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)√.因为sin54°cos24°－sin36°sin24°

＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°，故原式

正确．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√教材整理3 两角和与差的正切公式

阅读教材P

“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．

名称简记符号

名称

简记符号

公式

使用条件

α，β，α＋β≠k

两角和的

tan(α＋β)＝

T

π

正切

(α＋β)

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

π＋2(k∈Z) 且

tan α·tan β≠1

α，β，α－β≠k

两角差的

tan(α－β)＝

π

T

正切

(α－β)

tanα－tanβ

1＋tanαtanβ

π＋2(k∈Z) 且

tan α·tan β≠－

1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )

对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

都成立．( )

tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ1－tanαtanβ

1－tanαtanβ

等价于tan α＋tan β＝tan(α＋

β)·(1－tan αtan β)．( )

解： π ??

π?? π

(1)√.当α＝0，β＝3时，tan(α＋β)＝tan?0＋3?＝tan0＋tan 3，

? ?

但一般情况下不成立．

π

(2)×.两角和的正切公式的适用范围是 α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)．

π π π

(3)√.当α≠kπ＋2(k∈Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)

时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．

【答案】 (1)√ (2)× (3)√

[小组合作型]

灵活应用和、差角公式化简三角函数式

(1)(2016·济宁高一检测)sin47°－

(1)(2016·济宁高一检测)

3A．－

3

cos17°

＝( )

B 1

2 ．－2

32C

3

2

．2 D．

(2)化简求值：1＋tan75°

①1－tan75°；

②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；

③(2016