考研数学二解答题专项强化真题试卷6(题后含答案及解析).docVIP

考研数学二解答题专项强化真题试卷6(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数．(1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形的面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积．(2)又设f(x)在(0，1)上可导，且f’(x)＞证明(1)中的x0是唯一的．

正确答案：令φ(x)=一x∫x1(t)dt，则φ(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，则存在x0∈(0，1)，使φ’(x0)=0，即x0f(x0)一∫x01f(t)dt=0又φ”(x)=xf’(x)+2f(x)＞0，则上式中的x0是唯一的．

2．(1990年)已知＝9，求常数a．

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续

3．(2003年)设函数问a为何值时，f(χ)在χ＝0处连续；a为何值时，χ＝0是f(χ)的可去间断点?

正确答案：令f(χ)，有－6a＝2a2＋4，得a＝－1或a＝－2；当a＝－1时，＝6＝f(0)，即f(χ)在χ＝0处连续．当a＝－2时．f(χ)＝12≠f(0)，因而χ＝0是f(χ)的可去间断点．涉及知识点：一元函数微分学

4．(2013年)设D是由曲线y＝，直线χ＝a(a＞0)及χ轴所围成的平面图形，Vχ，Vy，分别是D绕χ轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Uχ求a的值．

正确答案：由V＝10Vχ即，解得a＝7涉及知识点：一元函数积分学

5．(17年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且f(1)＞0，证明：(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

正确答案：(I)由题设知f(x)连续且存在，所以f(0)=0．由与极限的保号性可知，存在a∈(0，1)使得即f(a)＜0．又f(1)＞0，所以存在b∈(a，1)(0，1)，使得f(b)=0，即方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根．(Ⅱ)由(I)知f(0)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，b)(0，1)，使得f’(c)=0．令F(x)=f(x)f’(x)，由题设知F(x)在区间[0，b]上可导，且F(0)=0，F(c)=0，F(b)=0．根据罗尔定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，b)，使得F’(ξ)=F’(η)=0，即ξ，η是方程f(x)f”(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内的两个不同实根．涉及知识点：一元函数微分学

6．(92年)求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成平面图形面积最小．

正确答案：设切点坐标为处的切线方程为令S’(t)=0得t=11，又S”(1)＞0，则t=1时S(t)有极小值，即最小值，此时切线方程为涉及知识点：一元函数积分学

7．(97年)

正确答案：涉及知识点：一元函数积分学

设函数f(x)=lnx+1/x

8．求f(x)的最小值；

正确答案：[*]

9．设数列{xn}满足lnxn+1/xn+1

正确答案：