广东省广州四中2023-2024学年高二下学期期中数学试题.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

广东省广州四中2023-2024学年高二下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．函数是定义在上的可导函数，若，则（????）

A．2 B．3 C． D．

3．用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（????）种不同的着色方法．

A．60 B．64 C．80 D．125

4．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

5．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

6．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（????）

A．―4 B．84 C．―280 D．560

7．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．带有编号、、、、的五个球，则（????）

A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法

B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法

C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法

D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法

10．对于函数，下列说法正确的是（????）

A．在处取得极大值为

B．有两个不同的零点

C．

D．若在区间上恒成立，则

11．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为．则下列说法中正确的有（????）

A．，

B．的值是

C．函数只有唯一零点

D．过可以作三条直线与图象相切

三、填空题

12．3名男生，4名女生，全体站成一排，男生不能站在一起的方法种数为．

13．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．

14．已知函数f（x）的导函数为，对任意的实数x都，且f（0）=1，若f（x）在（-1，3）上有极值点，则实数a的取值范围是.

四、解答题

15．已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

16．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，求函数的最值．

17．如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．

(1)求证：；

(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．

18．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．

(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

19．已知函数．

(1)判断函数的单调性

(2)证明：①当时，；

②.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

1．C

【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D错误.

故选：C

2．C

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解即得,

【详解】依题意，.

故选：C

3．C

【分析】根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得.

【详解】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，

用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种），

用3种颜色，不同着色方法有（种），

所以不同着色方法共有（种）.

故选：C

4．B

【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解.

【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减，

所以当或时，；当时，；

而等价于①，或②，

由①得或，则，

由②得，则，

综上，.

故选：B.

5．D

【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围.

【详解】令，则有，设过点作曲线的切线，

切点为，根据题意有，即