局部线性化与微分.ppt

局部线性化与微分关于局部线性化与微分4.3.1微分的概念1．引例问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A(x),面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故当边长从在取得增量时，变到一块正方形金属薄片受温度变化的影响,边长由其第2页,共28页，2024年2月25日，星期天2．“以直代曲”的定量描述当函数在处可导且时，所以当x充分接近x0时，有以直代曲：局部线性化：\\4.3.1微分的概念第3页,共28页，2024年2月25日，星期天比较函数在附近比较函数的增量与该点切线纵坐标的增量。例1\\4.3.1微分的概念第4页,共28页，2024年2月25日，星期天2．“以直代曲”的定量描述当函数在处可导且时，所以当x充分接近x0时，有以直代曲：局部线性化：\\4.3.1微分的概念第5页,共28页，2024年2月25日，星期天即内有定义，处的增量可以表示为3．微分的定义或,定义4.3.1设函数在的某邻域则称函数在处可微（或可微分），称为在处的微分，记为在一般点x处的微分，简记为若存在与无关的常数，使函数在点\\4.3.1微分的概念第6页,共28页，2024年2月25日，星期天设函数在的某邻域内有定义，则函数在可微的充要条件是

在处可导，且在点处的微分为或函数可微的条件当，有定理4.3.1\\4.3.1微分的概念第7页,共28页，2024年2月25日，星期天设，证明在任何点处可微，且．对任何，有例2证此时，所以，得，即一般地,\\4.3.1微分的概念第8页,共28页，2024年2月25日，星期天从而微分形式可以写成由此得到，或若和互为反函数，则有对复合函数\\4.3.1微分的概念第9页,共28页，2024年2月25日，星期天和，并求在处的局部线性化例3解，,所以，在点处的局部线性化函数为因为已知函数，求函数.\\4.3.1微分的概念第10页,共28页，2024年2月25日，星期天函数的增量是曲线的纵坐标的增量，它的微分是对应的切线的纵坐标的增量，这两者的差是横坐标增量的高阶无穷小。4．微分的几何意义——对应切线的纵坐标的增量。微分的几何意义\\4.3.1微分的概念第11页,共28页，2024年2月25日，星期天5．基本初等函数的微分公式根据函数微分的表达式函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分.由此可以得到基本初等函数的微分公式。例如：\\4.3.1微分的概念第12页,共28页，2024年2月25日，星期天4.3.2微分法则与微分不变性设函数在处可导,定理4.3.2这里为书写方便将简记为．（3）.（2）；处可微，且（1）