一叶落而知天下秋（数学华师大版九年级下册）.docVIP

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一叶落而知天下秋——样本估计总体

例1受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行收集、整理和分析，过程如下：

【数据收集】

786591046751112876

4636891010136783510

【数据整理】

将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A.3≤t＜5，B.5≤t＜7，C.7≤t＜9，D.9≤t＜11，E.11≤t≤13，其中t表示锻炼时间）；

【数据分析】

统计量

平均数

众数

中位数

锻炼时间（h）

7.3

m

7

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：m＝；

（2）补全频数分布直方图；

（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．

解析：（1）由数据可知，6出现的次数最多，所以m＝6．

（2）C组的频数为30﹣4﹣9﹣6﹣3＝8（人），补全频数分布直方图如图所示．

（3）600×＝340（名）．所以估计有340名学生能完成目标．

目标合理．理由：过半的学生都能完成目标．

例2某校七年级有600名男生，为增强体质，拟在七年级男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．

（1）A调查组从七年级体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从七年级所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中（填“A”或“B”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校七年级男生引体向上的水平状况；

（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：

成绩/个

2

3

4

5

7

13

14

15

人数/人

1

1

1

8

5

1

2

1

这组测试成绩的平均数为个，中位数为个；

（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校七年级男生引体向上的合格标准，请估计该校七年级有多少名男生不能达到合格标准．

解析：（1）B调查组抽取的样本更具代表性，故填B．

（2）这组测试成绩的平均数为（2×1+3×1+4×1+5×8+7×5+13×1+14×2+15×1）÷20＝7（个），中位数为5个．

（3）600×＝90（名）．

答：估计该校七年级有90名男生不能达到合格标准．

例3某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周的劳动时间，获得数据并整理成下表：

学生目前每周劳动时间统计表

每周劳动时间x（小时）

0.5≤x＜1.5

1.5≤x＜2.5

2.5≤x＜3.5

3.5≤x＜4.5

4.5≤x＜5.5

组中值

1

2

3

4

5

人数（人）

21

30

19

18

12

（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应扇形的圆心角是多少度？

（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；

（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．

解析：（1）1.5≤x＜2.5这组数据对应扇形的圆心角是360°×＝108°．

（2）（21×1+30×2+19×3+18×4+12×5）÷100＝2.7（小时）．

所以估计该校学生目前每周劳动时间的平均数为2.7小时．

（3）答案不唯一，可参考以下两种方案：

方案一：从平均数看，标准可以定为3小时．

理由：该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．

方案二：从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．

理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在1.5≤x＜2.5范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前能达标，同时至少有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．