高等数学(下册)(北航)参考答案.doc

高等数学（下册）练习题（北航） 第PAGE2页共2页

选择题（每题3分，共15分）

1．平面被柱面截得的区域面积是()

（A）（B）（C）（D）

解析平面与面夹角的余弦，故被柱面截得的区域面积是。答案(C)

2．设，，，则（）

（A）（B）（C）（D）

解析当时，，所以。观察积分区域的大小。答案（A）。

3．设函数连续,则().

（A）（B）

（C）（D）

答案(D)

4．设函数具有连续偏导数且，若是某二元函数的全微分，则可取的函数为（）

（A）（B）（C）（D）

解析因为是某二元函数的全微分，所以，从而。由此得。再有，得，。答案(C)

*5．质量分布均匀（密度为）的立方体占有空间区域，该立方体到轴的转动惯量（）.

（A）（B）（C）（D）

解析.答案(B)

填空题（每题3分，共15分）

1．函数在点处的最大方向导数为.

解析函数在点处的最大方向导数为在该点梯度的模。答案

2．微分方程的通解为.

解析一阶线性微分方程。答案。

.

解析交换积分次序后计算：。

4．设函数的周期为，且则的傅里叶级数在处收敛到.

解析。

5．设平面有向曲线由连接点与点的直线段和上半圆周上从到的弧段构成，则=.

解析设从变化到1.设和围成平面区域。由格林公式得

。

三、（10分）求函数在条件下的最大值．

解（1）设，求解方程组

由方程（1）（2）可得，代入方程（3），得。由此得驻点。

因为，故函数在条件下的最大值为12.

四（10分）设平面点集，计算.

解在极坐标系下。

*五（10分）设均匀物体占有球体在第一卦限的部分区域，求该物体的形心坐标.

解由对称性得。

的体积，所以有。

形心坐标。

六（10分）求微分方程满足条件的解.

解设，（1）

，（2）

，（3）

.（4）

方程（4）的特征方程：；特征根：；通解：。

对于方程（2），不是特征根。设其特解为，代入方程解得，即。

对于方程（3），是特征根。设其特解为，则有

，

代入方程（3），整理得，比较系数得，即。

由此得方程（1）的一个特解，即方程（1）的通解为

。

求导得。由得，于是得满足初始条件的特解。

七（10分）求幂级数的收敛区间与和函数，并求级数的和.

解（1）考虑幂级数，设，则收敛半径，所以该幂级数的收敛区间为。对应幂级数，其收敛区间为，即。

（2）设，则有

从而

于是的和函数。

（3）。

八（10分）计算，其中为曲面，取上侧.

解设，取下侧。和围成空间区域。

设，则。由高斯公式得

。

因为关于面对称，所以，于是

而

于是

九（附加题5分）

设稳定流动的流体的速度场是

，

其中有连续偏导数.若在该流速场内分片光滑简单闭曲面上分别都是常数，求单位时间内该流速场在内部区域上产生的总流量.

解设在上，，其中皆为常数。

单位时间内该流速场在内部区域上产生的总流量等于单位时间内流出的总流量，设该流量为，则

由高斯公式得

。

十（附加题5分）

设函数的二阶偏导数在全平面连续，且，，，证明：.

证因为函数的二阶偏导数在全平面连续，所以，从而曲线积分与路径无关。又因为，所以

其中，从0变化到6；，从6变化到7，于是有

.

因为，，所以，，即有，，而且

，

于是

.

说明：该学校把常数项级数fang在了上学期。

4.设是数列,则下列命题正确的是()

(A)若收敛,则收敛.(B)若收敛,则收敛.

(C)若收敛,则收敛.(D)若收敛,则收敛.

解析答案：（B）。（B）中后一个级数的前n项和是前一个级数的前n项和的偶数项子数列。

或用数项级数性质中“加括弧/去括弧”部分去解释。

（C）（D）的错误主要没注意的符号。