2004年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析).docVIP

2004年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题5.综合题6.证明题

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知则f(x)在x=0处()．

A．无极限

B．有极限但不连续

C．连续但不可导

D．可导

正确答案：D

解析：f’(0+0)=ex=1所以选D.

2．设函数f(x)满足∫0xf(t)dt=ln(1+x2)，则f(x)=()．

A．

B．

C．

D．2x

正确答案：C

解析：对原式两边同时求一阶导数可得：所以选C.

3．积分∫02｜x一1｜dx等于().

A．0

B．1

C．2

D．

正确答案：B

解析：原式可化为：

4．设级数条件收敛，则下列级数中发散的是()．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：考察任意项级数的条件收敛性质：若级数发散，则称级数为条件收敛，所以本题选C.

5．对微分方程y’’一y’一2y一xe-x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是()．

A．y*=x(Ax+B)e一x

B．y*=(Ax+B)e一x

C．y*=Axe一x

D．y*=x2(Ax+B)e一x

正确答案：A

解析：原式特征根内λ1=2，λ2=一1，于是相对于原式右边而言有单特征根．所以可设特征根为：y*=x(Ax+B)e-x．故选A.

填空题

6．已知=________.

正确答案：ln2

解析：

7．设z=f(x，y)可微，又y=y(x)可导，则对复合函数=_________。

正确答案：

解析：由偏导公式可得：

8．已知x→0时，1一cos2x与为等价无穷小，则a=_______．

正确答案：a=4

解析：由题意可得：

9．设极限，则k=_________．

正确答案：

解析：

10．二重积分=_______．

正确答案：1一cos1

解析：观察二重积分被积函数特点，交换积分次序计算比较方便．于是：

综合题

11．求极限．

正确答案：

12．计算积分．

正确答案：

13．设z=f(xy，x+y)，其中f(u，v)具有二阶的连续偏导数，求

正确答案：

14．设参数方程x=arctant，y=ln(1+t2)，试求

正确答案：

15．计算曲线积∮L(excosy一3y)dx—exsinydy，其中积分路径L为圆周x2+y2=2x的正向．

正确答案：运用格林公式，记圆域x2+y2≤2x为D，则

16．已知可导函数f(x)满足，求f(x)．

正确答案：等式两边对x求导，得：

17．求幂级数的收敛域及和函数，并求级数的和．

正确答案：

18．试求函数的单调区间和极值．

正确答案：f’(x)=2x2一6x+4—2(x一1)(x一2)令f’(x)=0，得驻点：x=1，x=2当x∈(一∞，1)U(2，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)单调增;当x∈(1，2)时，f’(x)＜0，f(x)单调减；所以，f(x)在x=1取得极大值且f(x)在x=2取得极小值且

19．设函数f(x)满足f(x)=x2－∫01f(x)dx，求f(x)．

正确答案：

20．在曲线上求平行于平面x+3y+2z=0的切线方程．

正确答案：设平行于平面x+3y+2z=0的在曲线上切线的切点所对应的参数为t0，则可知在t=t0处切线的方向向量为{t03，t02，t0)．平面的法向量为{1，3，2}，由切线与平面平行，得({t03，t02，t0}.{1，3，2}=0)即t03+3t03+2t0=0解得t0=一2，t0=一1，t2=0(舍去)当t0=一2时，所求切线的方向向量为{一8，4，一2}，切点为所求切线方程为即当t0=一1时，所求切线的方向向量为{一1，1，一1}，切点为所求切线方程为

证明题

21．设直线y=kx(0＜k＜1)与曲线y=x2以及直线x=1围成两图形，记面积分别为S1和S2，试求k为何值时，S1+S2最小，并求此时S1图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

正确答案：求(0，1)内交点：kx=x2→x=k

22．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，存在，试证明：存在ε∈(0，1)，使f’(ε)=0．

正确答案：又因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0所以由罗尔定理知：存在ε∈(0，1)，使f’(ε)=0．