2025版高考数学一轮总复习素养提升第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算.docVIP

公切线问题的模型求解

曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：

方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；

方法二：设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f?x1?－g?x2?,x1－x2)，再解决相关问题．

1．求两条曲线的公切线

(2023·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(C)

A．1 B．eq\f(1,2)

C．1－ln2 D．1－2ln2

[解析]设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．

则切线分别为y－lnx1－2＝eq\f(1,x1)(x－x1)，

y－ln(x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)(x－x2)．

化简得y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1,x2＋1)x－eq\f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，

依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1),lnx1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋ln?x2＋1?))，解得x1＝eq\f(1,2)，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.故选C．

[引申]本例中两曲线公切线方程为y＝2x＋1－ln2.

[解析]k＝eq\f(1,x1)＝2，∴公切线方程为y＝2x＋1－ln2.

名师点拨：

同时和曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1.同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?x1?＝g′?x2?，,f?x1?－f′?x1?x1＝g?x2?－g′?x2?x2，))解出x1、x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．

【变式训练】

已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.

[解析]设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，f′(x)＝ex，所以f′(x1)＝ex1，所以切点为(x1，ex1)，切线斜率k＝ex1，所以切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1①，同理设l与g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，y2)，所以y2＝lnx2＋2，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以g′(x2)＝eq\f(1,x2)，切点为(x2，lnx2＋2)，切线斜率k＝eq\f(1,x2)，所以切线方程为y－(lnx2＋2)＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(1,x2)·x＋lnx2＋1②，由题意知，①与②相同，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex1＝\f(1,x2)?x2＝e－x1③，,－x1ex1＋ex1＝lnx2＋1④，))把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1，即(1－x1)(ex1－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程y＝x＋1，综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.

2．由公切线求参数

(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．

(1)若x1＝－1，求a；

(2)求a的取值范围．

[分析](1)求出切点坐标―→求出导函数f′(x)eq\o(――――――――→,\s\up7(导数的几何意义))求得切线的斜率―→点斜式求出切线方程―→将切线方程代入y＝g(x)―→根据判别式为0求得a的值

(2)求出导函数f′(x)eq\o(――――――――→,\s\up7(导数的几何意义))求出切线方程―→将切线方程代入y＝g(x)―→根据判别式为0求得a的值―→求导研究函数h(x)的单调性，求得其值域―→求得a的取值范围

[解析](1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．

由f(x)＝x3－x，