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题组层级快练(四十一)

一、单项选择题

1．(2019·课标全国Ⅰ，理)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()

A．an＝2n－5 B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n

答案A

解析设等差数列{an}的公差为d，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2－4n.故选A.

2．等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为()

A．297 B．144

C．99 D．66

答案C

解析由a1＋a4＋a7＝39，得3a4＝39，a4＝13.

由a3＋a6＋a9＝27，得3a6＝27，a6＝9.

所以S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝eq\f(9（a4＋a6）,2)＝eq\f(9×（13＋9）,2)＝9×11＝99.故选C.

3．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，a5＋a7－a62＝0，则S11的值为()

A．11 B．12

C．20 D．22

答案D

解析方法一：设等差数列的公差为d(d＞0)，则由(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)2＝0，得(a1＋5d)(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2，又an＞0，所以a1＋5d＞0，则a1＋5d＝2，则S11＝11a1＋eq\f(11×10,2)d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22.故选D.

方法二：因为{an}为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a5＋a7－a62＝0，得2a6－a62＝0，a6＝2，则S11＝eq\f(11（a1＋a11）,2)＝eq\f(11×2a6,2)＝11a6＝22.故选D.

4．(2023·沧衡八校联盟)已知数列{bn}是公差不为0的等差数列，且b122－4b12＝b20102－4b2010，则数列{bn}的前2021项和为()

A.eq\f(2021,4) B.eq\f(2021,2)

C．2021 D．4042

答案D

解析∵数列{bn}是公差不为0的等差数列，且b122－4b12＝b20102－4b2010，∴(b12－b2010)(b12＋b2010)＝4(b12－b2010)，且b12≠b2010，∴b12＋b2010＝4，∴数列{bn}的前2021项和S2021＝eq\f(2021,2)(b1＋b2021)＝eq\f(2021,2)(b12＋b2010)＝eq\f(2021,2)×4＝4042.故选D.

5．(2023·广西南宁市模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1－a5＋eq\f(S6,6)＝0，则eq\f(a4,S5)＝()

A．－3 B.eq\f(9,35)

C.eq\f(11,45) D.eq\f(11,9)

答案B

解析设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a1－a5＋eq\f(S6,6)＝0，所以a1－a1－4d＋eq\f(6a1＋\f(6×（6－1）,2)d,6)＝0，所以a1＝eq\f(3,2)d，所以eq\f(a4,S5)＝eq\f(a4,5a3)＝eq\f(a1＋3d,5（a1＋2d）)＝eq\f(9,35).故选B.

6．设数列{an}的前n项和为Sn，且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，若a3＝3a5，则eq\f(S5,S9)＝()

A.eq\f(9,5) B.eq\f(5,9)

C.eq\f(5,3) D.eq\f(27,5)

答案C

解析方法一：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，且首项为eq\f(S1,1)＝a1，设公差为d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2d＋(a1－d)n，因为a3＝3a5，所以S3－S2＝3(S5－S4)，则9d＋3(a1－d)－[4d