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专项20切线的证明方法归类(2大类型+5种方法)
证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
(1)连半径、证垂直:当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径,证垂直”
(2)作垂直,证半径:当直线和圆的公共点没有明确时,可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”
【考点1有公共点:连半径,证垂直】
方法1:特殊角计算法证垂直
【典例1】如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O交⊙O于点C,∠A=∠B=30°,连接BD.求证:BD是⊙O的切线.
【变式1-1】如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C,连接BD,∠DAB=∠B=30°,求证:直线BD是⊙O的切线.
【变式1-2】如图,A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,CD是⊙O的直径,CD=2,E是CD延长线上的一点,且AE=AC.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)求ED的长.
方法2:等角代换法证垂直
【典例2如图,AB是⊙O的直径,C为半圆O上一点,直线l经过点C,过点A作AD⊥l于点D,连接AC,当AC平分∠DAB时,求证:直线l是⊙O的切线.
【变式2-1】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求⊙O的半径.
【变式2-2】已知:如图,AB是⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于点D,点E是AC的中点,ED与AB的延长线交于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,BF=2,求△ABC外接圆的半径.
方法3:平行线性质法证垂直
【典例3】已知:如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D.求证:PD是⊙O的切线;
【变式3-1】(2022?大兴区二模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.求证:BC是⊙O切线;
【变式3-2】如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC.
求证:DE是⊙O的切线.
【变式3-3】(2022?百色一模)如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径作⊙O,交AC于点D,连结DB,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.求证:DE是⊙O的切线;
方法4:全等三角形法证垂直
【典例4】已知,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的⊙O与BC相交于点E,在AC上取一点D,使得DE=AD,求证:DE是⊙O的切线.
【变式4-1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D,若E是AC的中点,连接DE.求证:DE为⊙O的切线.
【考点2无公共点:做垂直,证半径】
方法5:角平分线的性质法证半径
【典例5】如图,在Rt△ABC中,∠BAC的角平分线交BC于点D,E为AB上一点,DE=DC,以D为圆心,DB的长为半径作⊙D,AB=5,BE=3.
求证:AC是⊙D的切线;
【变式5-1】(2018?天河区校级一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD是角平分线,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于点E
求证:BC是⊙D的切线;
方法6:全等三角形法证半径
【典例6】如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.
求证:AB为⊙O的切线;
【变式6】如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA的延长线与OC的延长线于点E,F,连接BF.求证:BF是⊙O的切线;
1.(2021秋?西城区校级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.求证:AC是⊙O的切线;
2.(2021秋?温岭市期末)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.求证:CD是⊙O的切线;
3.如图,⊙O的半径为1,A是⊙O的直径BD延长线上的一点,C为⊙O上的一点,AD=CD,∠A=30°.求证:直线AC是⊙O的切线;
4.如图,已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D,点B在⊙O上,连接OB.
(1)求证:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求证:BC是⊙O的切线.
如图,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长
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