上海市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷.docxVIP

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上海市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．在0到范围内，与角终边相同的角是.

2．设角的终边经过点，那么.

3．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的倍．

4．函数的最小正周期为.

5．已知锐角满足，则.

6．已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数.

7．若函数的最小值为1，则实数．

8．已知，是第三象限的角，则．

9．已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影数量为．

10．已知角满足，则.

11．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则.

??

12．已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为.

??

二、单选题

13．二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（）

??

A． B． C． D．

14．下列等式中不恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

15．为了得到函数的图像，可以将的图像

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

16．设函数在上单调递减，则下述结论：

①关于中心对称；②关于直线轴对称；

③在上的值域为；④方程在有个不相同的根.

其中正确结论的编号是（????）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

三、解答题

17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．

(1)若，，求c；

(2)若的面积为，，求a．

18．已知，与的夹角为45°.

（1）求的值；

（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围.

19．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调增区间；

(2)求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值.

20．如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设.

(1)若，求荷花种植面积（单位：）的最大值；

(2)若，且荷花的种植面积为，求.

21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且

(1)求；

(2)若，设点为的费马点，求；

(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．

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参考答案：

1．/

【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案.

【详解】与角终边相同的角的集合为，

取，可得．

在0到范围内，与角终边相同的角是.

故答案为：.

2．

【分析】

根据任意角的三角函数的定义求得和的值，从而求得的值．

【详解】

解：由于角的终边经过点，那么，，，

，，，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．

3．3

【详解】设圆的半径为，弧长为，此时

则变换之后的半径为，弧长为，

该弧所对的圆心角为，

则，即该弧所对的圆心角是原来的3倍.

4．/

【分析】根据，直接计算可得结果.

【详解】由正切函数的周期公式得：.

故答案为：

5．

【分析】由特殊角的三角函数值即可求.

【详解】因为且为锐角，所以.

故答案为：

6．

【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.

【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，

设，，则，

所以，，解得.

故答案为：.

7．3

【分析】利用辅助角公式与正弦函数的