《第 5 章 函数的概念、性质及应用》内容提要 解读与例析-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习.docVIP

【学生版】

《第5章函数的概念、性质及应用》内容提要解读与例析

【内容提要】第五章内容提要（见教材141页）

1、函数的概念：

（1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则，都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数；

（2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素；函数的值域由其定义域和对应法则决定；两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的；

（3）函数的图像是表示函数性质的直观有力的工具；

2、函数的性质：

（1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数；

奇函数及偶函数分别刻画了函数图像关于原点及轴的对称性；

（2）对于定义在上的函数，设区间是的子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立，就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立，就称函数在区间上是严格减函数；这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势；

（3）设函数在处的函数值是；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值；最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标；

3、函数的应用：

（1）在建立函数关系时，需要注意其定义域.；

（2）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解；

（3）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段；

*4.反函数：

（1）反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系；

（2）如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数；

（3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。

【例析要点】

1.函数的概念：

例1、德国数学家狄里克雷，，在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的序号是

①．

②．的值域为，

③．的图像关于直线对称

④．的图像关于直线对称

【提示】

【答案】

【解析】

【说明】

1、函数的概念：

例2、下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有

①．与②．与

③．与④．与

【提示】

【答案】

【解析】

【说明】

1、函数的概念：

例3、设函数，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是（）

A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)

2.函数的性质：

例4、已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1).

（1）试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；

（2）解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.

2、函数的性质：

例5、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2，都有eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0成立，则实数a的取值范围为．

2、函数的性质：

例6、已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1)；

（1）判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；

（2）求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．

3、函数的应用：

（1）在建立函数关系时，需要注意其定义域.；

例7、用米长的钢材制作如图的矩形窗户(中间有两根支柱)，当窗户的面积最大时，窗户高的值为()

A.B.C.D.

3、函数的应用：

例8、求函数的零点个数.

3、函数的应用：

（3）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段；

例9、方程在区间上的根必定在（）上

A．B．C．D．

*4.反函数：

例10、判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由；

（1）；（2）；（3）

*4.反函数：

例11、已知函数

（1）证明：函数有反函数，并求出反