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9.2.4总体离散程度的估计第九章统计9.2用样本估计总体
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息,这是概括一组数据的特征的有效方法,但仅知道集中趋势的信息,很多时候还不能使我们做出有效决策,下面的问题就是一个例子.问题3有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教练,你如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考核,你应当如何作出选择?通过简单的排序和计算,可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看,两名运动员之间没有差别.
现在我们画出条形图直观感觉一下他们的成绩是否有差别.10环数频环数频率456789甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大,而乙的成绩比较稳定.可见,他们的射击成绩是存在差异的.那么,如何度量成绩的这种差异呢?
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩,可以得到可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.甲命中环数的极差=10-4=6,乙命中环数的极差=9-5=4.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的信息量很少.用极差度量这种差异会有缺点吗?你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗?
我们知道,如果射击的成绩很稳定,那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远;相反,如果射击的成绩波动幅度很大,那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此,可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.如何定义“平均距离”?假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距离”为
方差:标准差:标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小。显然,在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差。
例2在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生身高方差作出估计吗?
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小,平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.例如,根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据,可以计算出样本平均数=8.79,样本标准差s≈6.20.
如下图所示,可以发现,这100个数据中大部分落在区间[-s,+s]=[2.59,14.99]内,在区间[-2s,+2s]=[-3.61,21.19]外的只有7个.也就是说,绝大部分数据落在[-2s,+2s]内.月均用水量/t0.077频率/组距0.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.00700.020.080.10.060.044.21.27.210.213.216.219.222.225.228.22.5914.9921.19
1.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有()图1图2图3A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1
D课堂检测
B
3.已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米,方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市的房价的方差为.118.52
4、在一次科技知识竞赛中,某学校的两组学生的成绩如下表:请根据你所学过的统计知识,判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
作业:
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