10.4计数综合问题 -2022届高考数学一轮复习讲义.docVIP

10.4计数综合问题

一、教学目标

1.正确区分分类与分步，巩固分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

2.正确区分排列与组合，巩固排列与组合问题；

3.理解分组问题中的平均分组与不平均分组.

二、知识回顾

1.排列与组合：

排列

组合

概念

从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列

从个不同元素中取出个元素，并成一组

区别

取出的元素和顺序有关，先取后排。

取出的元素和顺序无关，只取不排。

公式

其中，且.

其中，且.

2.分组（堆）问题：

（1）类型：①平均分组；②不平均分组；③局部平均分组.

（2）组与组不讲顺序，常用除法消序.

3.分组分配问题的基本策略：先分组再分配.

三、典例分析

例1．（1）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

【答案】660

解析：第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种.

（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

【答案】1260

解析：若不取零，则排列数为，若取零，则排列数为

因此共有个没有重复数字的四位数.

例2.有6本不同的书，按下列要求，各有几种分法？

（1）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；

（2）分成三堆，每堆各2本；

（3）分成三堆，一堆4本，另两堆各1本.

【答案】（1）；（2）；（3）.

例3.有6本不同的书，按下列要求，各有几种分法？

（1）分给三人，甲1本，乙2本，丙3本；

（2）分给三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（3）分给三人，每人各2本；

（4）分给三人，甲4本，乙、丙各1本；

（5）分给三人，一人4本，另两人各1本.

【答案】（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）.

例4.将五个不同的小球放入四个分别标有编号为1，2，3，4的的盒子，

（1）若自由放入，则有多少种不同的放法？

（2）若恰有1个空盒，则有多少种不同的放法？

（3）若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有多少种不同的放法.

【答案】（1）；（2）；（3）535.

四个盒子放球的个数如下：

1号盒子：{0，1}；2号盒子：{0，1，2}；3号盒子：{0，1，2，3}；

4号盒子：{0，1，2，3，4}；

结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：

5=1+4：种；5=2+3：种；5=1+1+3：种；

5=1+2+2：种；5=1+1+1+2：种；

∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种.

课外作业

1．将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）

A．种 B．种C．种D．种

【答案】A

2．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）

A．540 B．300 C．180 D．150

【答案】D

3.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（）

A.4种B.10种C.18种D.20种

【答案】B

4．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）

A．12 B．120 C．1440D．17280

【答案】C

解析：首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，

再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况，故共有种不同安排方法.

5．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）

A．432 B．288 C．216 D．108

【答案】C

解析：首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排．则共有．

6．将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）

A．6种 B．12种 C．24种 D．48种

【答案】B

解析：