2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理教师版.docVIP

专题30正弦定理和余弦定理

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.

2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

【考点预测】

1．正弦定理与余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

(1)a＝2RsinA，

b＝2RsinB，

c＝2RsinC；

(2)asinB

＝bsinA，

bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2.三角形中常用的面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

3．三角形解的判断

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

解的个数

一解

两解

一解

一解

【常用结论】

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sinC．

(2)cos(A＋B)＝－cosC．

(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).

(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；

b＝acosC＋ccosA；

c＝bcosA＋acosB．

【方法技巧】

1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

2.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

3.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

5.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

二、【题型归类】

【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形

【典例1】已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝eq\f(2π,3).

(1)求B的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．

①c＝eq\r(2)b；②周长为4＋2eq\r(3)；③面积为S△ABC＝eq\f(3\r(3),4).

【解析】(1)∵c＝2bcosB，

则由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB，

∴sin2B＝sin?eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，∵C＝eq\f(2π,3)，

∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，2B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，

∴2B＝eq\f(π,3)，解得B＝eq\f(π,6).

(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得

eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)，

与c＝eq\r(2)b矛盾，故这样的△ABC不存在；

若选择②：由(1)可得A＝eq\f(π,6)，

设△ABC的外接圆半径为R，

则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin?eq\f(π,6)＝R，

c＝2Rsin?eq\f(2π,3)＝eq\r(3)R，

则周长为a＋b＋c＝2R＋eq\r(3)R＝4＋2eq\r(3)，

解得R＝2，则a＝2，c＝2eq\r(3)，

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为

eq\r(?2\r(3)?2＋12－2×