2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题13函数与方程学生版.docVIP

专题13函数与方程

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

【考点预测】

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

2.函数零点存在定理

(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)0.

(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

【常用结论】

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.

2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

【方法技巧】

1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.

2.函数零点个数的判定有下列几种方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

3.已知函数的零点求参数，主要方法有：

①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；

②数形结合；

③分离参数，转化为求函数的最值.

4.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

5.函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.

二、【题型归类】

【题型一】函数零点所在区间的判定

【典例1】已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，4) D．(4，＋∞)

【典例2】函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()

A．(1，2) B．(2，3)

C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)

【典例3】(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

【题型二】函数零点个数的判定

【典例1】已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤1，,|x2－4|－2，x＞1，))则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．

【典例2】函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x0))的零点个数是________．

【典例3】函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()

A．0B．1C．2D．3

【题型三】根据函数零点个数求参数

【典例1】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋2x|，x≤0，,\f(1,x)，x0，))若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，4－2eq\r(3)) B．(4＋2eq\r(3)，＋∞)

C．[0,4－2eq\r(3)] D．(0,4－2eq\r(3))

【典例2】若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()

A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\