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广东省广州市育才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则（???）

A．2 B． C．4 D．10

2．在△ABC中，已知，则（）

A． B． C． D．

3．已知向量，则与共线且反向的单位向量为（?????）

A． B．

C．或 D．

4．图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C．四边形的周长为 D．四边形的面积为

5．已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（????）

A． B．

C． D．

6．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

7．在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．，

B．

C．若，，则的最小值为1

D．若是关于x的方程的根，则

10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（????）

A．若，则点是的重心

B．若，则点在边的延长线上

C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则

D．若，且，则的面积是面积的

11．如图，在长方体中，，E是棱上的一点，点F在棱上，则下列结论正确的是（????）

A．若，C，E，F四点共面，则

B．存在点E，使得平面

C．若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值

D．若，C，E，F四点共面，则四边形的面积为定值

三、填空题

12．若平面与平面平行，，则直线的位置关系为．

13．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则千米．

14．在中，，则；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是．

四、解答题

15．已知：，，向量与的夹角为．

(1)求；

(2)求；

(3)若与垂直，求实数m的值．

16．在中，内角所对的边分别为，

(1)若，解三角形：

(2)若角且的外接圆半径为．

①求的面积；

②求边上的高．

17．材料1．《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下：

如图1，圆锥的底面直径和高均为a，过PO上一点作平行于底面的截面，以该截面为底的面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．我们称圆柱为圆锥的内接圆柱．

材料2：如图2，底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为R，高为H的内接圆柱．根据材料1与材料2完成下列问题．

(1)求R与H的关系式；

(2)求圆柱侧面积的最大值；

(3)当高PO的长为，直径为的情况下，底面一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，点E在棱PC上．

(1)若底面ABCD是边长为2的正方形，平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由；

(2)若底面ABCD是梯形，且，点E是PC的中点（图2），证明平面PAD；

(3)在（1）的条件下是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由；

19．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．

(1)求扇形空地AOB的周长和面积；

(2)当米时，求PQ的长；

(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大