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高中数学选择性必修第二册
第四章数列
知识点要点:
数列的概念
按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项.
(1)从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不
同,那么它们就不是同一数列,例如数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是不同的数列.
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,在同一数列中可以出现多个相同的
数字,如:-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列:-1,1,-1,1,….
(4)数列的项与它的项数是不同的,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,
也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的
n.
(5)次序对于数列来讲是十分重要的,有几个相同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列
就不是一个相同的数列,显然数列与数集有本质的区别.如:2,3,4,5,6这5个数按不同的
次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一
个集合.
2.数列的分类
(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类,分为有穷数列和无穷数列.在写数列时,对于有穷
数列,要把末项写出,例如数列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有穷数列,如果把数列写成1,
3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示无穷数列.
(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类:递增数列、递减数列、摆动
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数列、常数列.
3.数列的通项公式
数列是按一定次序排列的一列数,其内涵的本质属性是确定这一列数的规律,这个规律通常是用
式子f(n)来表示的,
这两个通项公式形式上虽然不同,但表示同一个数列,正像每个函数关系不都能用解析式表达出
来一样,也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式,但在形式上,又不
一定是唯一的,仅仅知道一个数列前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的,通项公式更
非唯一.如:数列1,2,3,4,…,
由公式写出的后续项就不一样了,因此,通项公式的归纳不仅要看它的前几项,更要依据数列的
构成规律,多观察分析,真正找到数列的内在规律,由数列前几项写出其通项公式,没有通用的
方法可循.
再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点:
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数
的表达式.
(2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出这个数
列的各项;同时,用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项,如果是的话,是第几
项.
(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.
如2的不足近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,
1.414,1.4142,…就没有通项公式.
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(4)有的数列的通项公式,形式上不一定是唯一的,正如举例中的:
(5)有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出的数列
通项公式并不唯一.
4.数列的图象
对于数列4,5,6,7,8,9,10每一项的序号
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