第12讲 相似多边形与三角形相似的条件（学生版）-2023年九上同步讲义.docx

第12讲相似多边形与三角形相似的条件

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课程标准

1.了解相似多边形和相似比的定义。

2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。

3.掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。

4.了解相似三角形的概念。

5.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。

6.能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。

7.了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。

知识精讲

知识精讲

知识点01相似多边形的定义

1．相似多边形的定义

、的两个多边形叫做相似多边形。

2．记法

相似符号：“∽”，读作“”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

注意：

（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；

（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。

知识点02相似多边形的性质及判定

1．相似多边形的性质

相似多边形的、。

2．相似多边形的判定

、的两个多边形叫做相似多边形。

知识点03相似三角形的概念

1．概念

三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2．符号语言

如图所示，在和中，，，，，∽。

3．相似三角形的“三性”

（1）对应性：两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。找对应元素的方法同全等三角形。

（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：∽，它们的相似比为；如果写成∽，那么它们的相似比是，且

（3）传递性：若∽，∽，则∽

知识点04相似三角形的判定定理

（一）相似三角形的判定定理1

1．定理

的两个三角形相似。

2．符号语言

已知和，若，，则∽。

3．归纳：有关三角形相似的基本图形

（二）相似三角形的判定定理2

1．定理

且的两个三角形相似。

2．符号语言

已知和，若，，则∽。

（三）相似三角形的判定定理3

1．定理

的两个三角形相似.

2．符号语言

已知和，若，则∽。

注意：

（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的。

知识点05黄金分割的有关概念

1．定义

一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

2．作一条线段的黄金分割点

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB。

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB。

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点。

注意：

（1）≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值)。

（2）一条线段的黄金分割点有两个。

能力拓展

能力拓展

考法01相似多边形性质的应用

【典例1】如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（???????）

A．4：1 B． C． D．2：1

【即学即练】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（???????）

A． B．6 C． D．9

【典例2】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）

A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16

【即学即练】把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）

A．:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1

考法02相似多边形的判定

【典例3】下列说法正确的是（????????）

A．所有等边三角形都相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似

C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似

【即学即练】下列说法中，不正确的是（???????）

A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似

C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似

【典例4】在如图所示的各组图形中，相似的是()

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【即学即练】如图所示的四边形