新教材(广西专版)高考一轮复习考点指导(四)课件.ppt

破解“双变量问题”的基本策略在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题的关键:一是转化,由已知条件入手,寻找双变量所满足的等量关系,将双变量化为单变量进行求解;二是巧妙构造函数,再借助导数,研究函数的单调性、极值和最值,进而解决问题.一、利用两变量间的等量关系化为单变量求解在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.例1.已知函数f(x)=x-+alnx,且f(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈(1,2],则f(x1)-f(x2)的最小值为()A.3-5ln2 B.3-4ln2C.5-3ln2 D.5-5ln2答案A当x∈(1,2]时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)min=h(2)=3-5ln2,故f(x1)-f(x2)的最小值为3-5ln2,故选A.对点训练1已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是.?解析依题意,f'(x)=2axlna-2ex,x1,x2为方程f'(x)=0的两根,x1<x2.令g(x)=axlna-ex,则g'(x)=ax(lna)2-e.若a>1,则g'(x)在R上单调递增,此时由x1,x2为方程f'(x)=0的两根,可知存在x0∈(x1,x2),使g'(x)=0,所以g(x)在区间(-∞,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增.又g(x1)=0,g(x2)=0,所以f(x)在区间(-∞,x1)内单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减,在区间(x2,+∞)上单调递增,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点,不符合题意,舍去.若0<a<1,则g'(x)在R上单调递减,同理,存在x0∈(x1,x2),使g'(x)=0,此时x1为f(x)的极小值点,x2为f(x)的极大值点,满足题意.例2.已知函数f(x)=x-2alnx-(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若x1,x2为函数f(x)的两个极值点,证明:>2-4a.(1)解f'(x)=,x>0,令x2-2ax+1=0,Δ=4a2-4.当Δ≤0,即-1≤a≤1时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当Δ>0,即a>1或a<-1时,①当a<-1时,-2ax>0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上,当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)证明由(1)知当a>1时,f(x)有两个极值点x1,x2,且x1+x2=2a,x1x2=1,不妨设x2>1>x1>0,对点训练2已知函数f(x)=kx2+2x-lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有2个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3.二、构造对称和(或差)证明双变量不等式如果双变量问题是证明与函数的两个零点之和(之差)有关的不等式,可以利用构造对称和(差)的方法证明不等式,一般步骤如下:例3.已知函数f(x)=aex-x,a∈R.(1)若f(x)在x=0处的切线与x轴平行,求实数a的值;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2>2.(1)解因为f(x)=aex-x,所以f'(x)=aex-1,由题意可得f'(0)=a-1=0,解得a=1.(2)证明因为f'(x)=aex-1.当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点;当a>0时,令f'(x)=0?x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因为g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以只需证g(x2)<g(2-x1),又因为g(x1)=g(x2)=0,所以只需证g(x1)<g(2-x1).因为x<1,所以1-x>0,2-x>x,所以e2-x>ex,即e2-x-ex>0,所以H'(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递增.所以H(x1)<H(1)=0,即有g(x1)<g(2-x1)成立,所以x1+x2>2.对点训练3设函数f(x)=2