2024年新高考艺体生冲刺复习考点30 椭圆（原卷版）.docxVIP

考点30椭圆

一．椭圆的定义

条件

结论1

结论2

平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2

M点的轨迹为椭圆

F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距

|MF1|＋|MF2|＝2a

2a＞|F1F2|

二．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

性质

范围

－a≤x≤a－b≤y≤b

－b≤x≤b－a≤y≤a

对称性

对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)

轴

长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(0，1)

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

三．点与椭圆的位置关系

已知点P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则

(1)点P(x0，y0)在椭圆内?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；

(2)点P(x0，y0)在椭圆上?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；

(3)点P(x0，y0)在椭圆外?eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1.

四．直线与椭圆的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,F?x，y?＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．

五．弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|=eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])；

②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[?y1＋y2?2－4y1y2]).

六．求椭圆离心率的方法

①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))直接求解．

②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．

七．焦点三角形的结论

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.

①|PF1|＋|PF2|＝2a.

②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.

③焦点三角形的周长为2(a＋c)．

④S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2·eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.

考点一椭圆的定义及应用

【例1-1】（2024·河南开封）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则．

【例1-2】（2023·山东烟台）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（）

A． B． C． D．

【例1-3】（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【例1-4】（2023上·福建宁德·高二统考期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式】

1．（2024·湖北）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（????）

A．1 B．4 C．9 D．6

2（