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第第五五章章同同步步练练习习答答案案--lwm

、课程同步练习

5.1向量及其线性运算5.2空间直⾓坐标系、向量的坐标表⽰

⼀、空题:

1．平⾏于(3,3,4)a=的单位向量e=

4)

．2．(3,4,1)a=，则a

的⽅向余弦为cos

αβγ=

==

3．⼀向量的起点为(1,4,2)A-,终点为(1,5,6),B-则AB

在x轴、y轴、z轴上的投影

分别是-2,1,8，||AB=

.

⼆、选择题：

1.点)1,2,1(--P关于zox⾯对称的点的坐标是（C）

)1,2,1()(-A)1,2,1()(B)1,2,1()(-C)1,2,1()(D

2.设ba

,互相平⾏，但⽅向相反，当0ba时，必有（A）babaA-=+)(babaB-+)(babaC-+)(.)(babaD++

3.下列各组⾓能为某向量的⽅向⾓的是（A）

ooA60,150,90)(o===γβαooB60,135,45)(o===γβαooC49,120,60)(o===γβαooD60,150,30)(o===γβα

三、计算题：

1．设⼀向量与三个坐标平⾯的夹⾓分别为,,,ψ?θ证明.2coscoscos

222

=++ψ?θ

证明：设,,αβγ分别是该向量与三个坐标轴的夹⾓，则有

,,2

2

2

π

π

π

αψβ?γθ=

±=

±=

±由于222coscoscos1.αβγ++=

所以2

22sin

sinsin1ψ?θ++=即

2221cos1cos1cos1ψ?θ-+-+-=故.2coscoscos222=++ψ?θ

2.设),1,2,2(31

1=

e

),2,1,2(3

12-=e),2,2,1(313-=e试将向量),,,(zyxr=表⽰成321,,eee

的线性组合.

解：设123rxeyeze=++并且321,,eee

是两两垂直的单位向量，所以

12

3

rexreyrez=??

=??=?即1

(22)31(22)31(22)3xxyzyxyzzxyz?=++??

?=-++???=-+??

.3.设ABCD是平⾏四边形，E是AB的中点，AC与DE交于O点，证明O点分别是DE与AC的三等分的分点.

证明：依题意，DE和AC交于O点，取OD,OC的中点分别为M,N,连接MN，由于

11,,22MODOONOC==11(),22

MNMOONDOOCDC=+=+=

⼜四边形ABCD是平⾏四边形，,

ABDC∴=且E为AB的中点，故11,22

AEABDCMN===因此四边形AENM构成平⾏四边形，于是

,,OMOEONOA==，这样11,33

AOACEOED==

,证得.

5.3数量积向量积混合积

⼀、空题:

1．设3,(1,1,1),abab?=?=

则(,)ab∧=6

π．

2．设4(3,2,1),(2,,)3abk==，若,ab⊥

则k=263-，若a//,b则k=23

.

3.已知c垂直于(1,2,1)a=和(1,1,1)b=-，并满⾜(2)8cijk?-+=

，则c=

（1，-2，3）．⼆、选择题：

1.下列各式正确的是（C）

；时，当10)(=≠a

a

aA

；babaaB2)()(=?

；bbbaabaababaC?-?-?+?=-?+)()()(

；

则，若cbcabaaD

=?=?≠,0)(2.已知a=i-2j+3k,b=2i+j,c=-i+j+k,下列说法正确的是（A）

;)(轴垂直于OzbA;)(cbaB平⾏于+;)(垂直与cbaC

+;,,)(共⾯cbaD

3．设γβα,,为互相垂直的3个⾮零向量，则向量γβαzyxr++=

的模为（D）

;

)()(2

1

222zyxrA++=;

)(γβαzyxrB++=