2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练47抛物线.docVIP

课时规范练47抛物线

基础巩固组

1.已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()

A.2 B.3 C.6 D.9

2.若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=()

A.2 B.4 C.±2 D.±4

3.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1

A.2 B.3 C.4 D.8

4.

位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5m,跨径为12m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()

A.2512m B.256m C.95m

5.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l的斜率为3且经过点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是()

A.p=2 B.F为AD的中点

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2

6.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()

A.13 B.23 C.2

7.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A,B两点,交抛物线C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则抛物线C的焦点到准线的距离为.?

8.过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与抛物线C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则直线l的斜率为.?

9.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-3,则△AMF的面积为.?

10.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.?

综合提升组

11.已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()

A.6 B.8 C.10 D.12

12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()

A.4 B.8 C.16 D.16

13.已知抛物线C:x2=2py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在点A,B处的切线的交点为N.

(1)若点N在以AB为直径的圆上,求p的值;

(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.

14.

如图,已知椭圆C1:x22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A

(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标

(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.

创新应用组

15.

(多选)如图,已知椭圆C1:x24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线C2于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交椭圆C1于点A,B,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN,S△OAB,则下列说法正确的为(

A.若直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2为定值-1

B.S△OAB为定值1

C.|OA|2+|OB|2为定值5

D.设λ=S△OMNS△

16.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点M(2,m)(m0)在抛物线C上,且|MF|=2.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.

参考答案

课时规范练47抛物线

1.C解析设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.故选C

2.C∵x2=ay,∴p=a2=1,∴a=±2.故选C.

3.D∵y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(±3p-p,0),∴3p-p=

4.D建立平面直角坐标系如图所示.

设抛物线的解析式为x2=-2py,p0,

因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.

5.

ABC如图,点Fp2,0,直线l的斜率为3,则直线l的方程为y=3x-p2.

由y2=2px,y=3(x-p2),得12