考点29 空间几何体的表面积与体积-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docxVIP

考点29空间几何体的表面积与体积

【命题趋势】

从近五年的考查情况来看，空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积，与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．

【重要考向】

本节通过空间几何体的表面积和体积考查转化与化归思想的应用，提升考生直观想象和数学运算核心素养．

空间几何体的表面积

方法策略：

1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．

2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.

3.遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

【典例】

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由三视图，几何体还原为底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱锥，即可求其表面积.

【详解】由三视图知：几何体为底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图示，

∴其表面积为.

故选：D

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系.

空间几何体的体积

解题技巧：

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．

①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.

②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．

【典例】

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．

【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；

如图所示：

所以：．

故选：D．

【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

球的表面积和体积

1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.

2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．

3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.

4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.

【典例】

3．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意证求出的长，因为三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为球直径，即为球直径，因此求出的长度结合球的表面积公式即可求出结果.

【详解】解：因为，，

易知三角形ABC为等腰直角三角形，

又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，

因为三棱锥的体积，所以，

则可将三棱锥放入长方体内，如图

长方体的体对角线即为球直径，即为球直径，

设球O的半径为r，则，

所以球O的表面积．

故选：D．

组合体的表面积与体积

方法策略：

1.判断由哪几个简单几何体构成的；

2.求表面积时，看得见的为表面，求体积时，多个几何体体积直接相加即可.

4．