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高阶显式单步法构造方法

Runge-Kutta方法

基本思想：利用在某些点上的斜率的加权平均

作为来构造。

N级（阶）Runge-Kutta方法的一般形式：

其中

N=1：Euler方法

当N1时，适当选取式中参数，使该方法的阶数尽量高

二级方法：N=2

代入2（阶）Runge-Kutta方法的形式：

在点（x,y）处展开得：

nn

比较两式，得

方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种

常见的3种二级方法：

中点法（修正的Euler法）取

Runge-Kutta二级方取

法

Heun（休恩）二级方法要求项的系数尽量相同

四级方法：N=4局部截断误差

常见的2种四阶方法：

经典Runge-Kutta方法Kutta四阶方法（见教材）

例2：用经典的Runge-Kutta方法

求解下列初值问题。

解：经典的四阶Runge-Kutta公式：

0.10.20.30.40.5

1.09541.18321.26491.34161.4142

0.60.70.80.91.0

1.48321.54921.61251.67331.7321

同保留5位的精确值完全一致：

0.10.20.30.40.5

1.09541.18321.26491.34161.4142

0.60.70.80.91.0

1.48321.54921.61251.67331.7321

二、变步长方法

基本思想：根据精度自动地选择步长

对于经典Runge-Kutta方法：

Step1:设从出发，为步长，经过一步计算得到

Step2:取为步长，再从出发，经过两步计算得到

记

如果，则将步长折半进行计算，直到为止

此时取为最终结果；

如果，则将步长加倍进行计算，直到为止

此时将步长折半一次计算，得到的为最终结果。

§5.4单步法的收敛性与稳定性

一、收敛性/*Convergence*/

对于初值问题的一种

单步法产生的近似解，如果

对于任一固定的，均有

则称该单步法是收敛的。

类似地可以定义隐式单步法、多步法的收敛性

二、绝对稳定性/*AbsoluteStibility*/

计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响

首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:

设实际计算得到的点的近似函数值为，

其中为精确值，为误差

如果，则误差是不增的，故可认为是稳