北京九中2023-2024学年高三3月份模拟考试数学试题含解析.doc

北京九中2023-2024学年高三3月份模拟考试数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（）

A． B． C． D．

2．设，则““是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必条件

3．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）

A．0 B． C． D．

5．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）

A． B． C． D．

6．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（）

A． B． C． D．

7．半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

8．数列满足：，，，为其前n项和，则（）

A．0 B．1 C．3 D．4

9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A． B． C． D．

10．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）

A．2 B． C． D．

11．已知命题，那么为（）

A． B．

C． D．

12．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）

A． B． C．8 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在中，，点是边的中点，则__________，________.

14．已知是等比数列,若，,且∥,则______.

15．已知向量，，，若，则______.

16．已知的展开式中含有的项的系数是，则展开式中各项系数和为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设为实数,已知函数,．

（1）当时,求函数的单调区间：

（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;

（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．

18．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.

19．（12分）已知，均为正数，且.证明：

（1）；

（2）.

20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求sin（2B+）的值．

21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．

22．（10分）数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为的前n项和，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.

【详解】

当时，，所以，故当

时，，所以，而

，所以，又当时，

的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程

的最小实根为，，则，即，此时

令，得，所以最小实根为411.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.

2、B

【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由，得，又由，得，

因为集合