[28872706]2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题04幂函数、指数函数和对数函数.docxVIP

专题04幂函数、指数函数和对数函

专题04幂函数、指数函数和对数函数

复习与检测

学习目标

1.幂函数的概念及其在内的单调性。

2.指数函数及其性质，

3.掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在内的单调性会画幂函数的图像，4.掌握指数函数的图像及其性质。

知识梳理

重点1

1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数。

2.指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数。其中x是自变量，函数的定义域是R.幂函数与指数函数的形式一定要区分开。

3.指数函数的性质：性质1.指数函数的函数值恒大于零.性质2.指数函数的图像经过点（0，1）.性质3.函数（1）在内是增函数；函数（01）在内是减函数.

重点2

①幂函数的定义域由常数确定，但总有四种。当，幂函数是奇函数或偶函数，因此研究幂函数的性质，主要是研究幂函数在上的性质。当是增函数；当上是减函数，幂函数的图像都经过。

②指数函数有些同学常会与幂函数混淆。

③换底公式

④函数的定义域是它的反函数的值域；函数的值域就是它的反函数的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。

⑤对数函数与指数函数互为反函数。⑥在解对数方程时必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。

例题分析

例1．能推断出函数在上为增函数的是（）

A．若、且，则

B．若、且，则

C．若、且，则

D．若、且，则

【答案】D

【详解】

对于A选项，若、且，则且，

则函数在上为增函数，A选项不满足条件；

对于B选项，若、且，则且，

则函数在上为减函数，B选项不满足条件；

对于C选项，若、且，无法判断与的大小，C选项不满足条件；

对于D选项，若、且，则，且、，

因为，故函数为上的增函数，D选项满足条件.

故选：D.

例2．若实数满足，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：设，则，

设，，

作出函数的图像，如图所示，

由图可得，所以，

故选：B

跟踪练习

1．已知函数则（）

A． B． C． D．

2．对数的创始人约翰·奈皮尔（JohnNapier，1550—1617）是苏格兰数学家.直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，而且要算几个大数的连乘，往往需要花费很长时间.基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4（一个自然数效位的个数，叫做数位）.则的数位是（）

（注）

A．6679 B．6680 C．6681 D．6682

3．设D是的一个子集，称函数为“机智”的，若存在奇函数，使得，有两个命题：①若对任意，都成立，，则是“机智”的；②若对任意，都成立，则是“机智”的；则下列判断正确的是（）

A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①?②都是假命题

D．①?②都是真命题

4．若，则的定义域是（）

A．R B． C． D．

5．某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）满足的函数关系式为．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（）（已知，结果取整数）

A．42小时 B．53小时 C．56小时 D．67小时

6．若函数．则（）

A． B． C． D．

7．已知函数是偶函数．

（1）求k的值；

（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．

8．最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.

（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；

（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？

9．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．

（1）若函数为“函数”，求实数的值；

（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；

（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．

10．设函数的反函数为．

（1）解方程：；

（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．

参考答案

1．C

【详解】

由题