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挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题13二次函数与胡不归型最值问题
胡不归问题:
模型分析:“PA+k·PB”型的最值问题,当k=1时通常为轴对称之最短路径问题,而当k>0时,若以常规的轴对称的方式解决,则无法进行,因此必须转换思路.
如图,直线BM,BN交于点B,P为BM上的动点,点A在射线BM,BN同侧,已知sin∠MBN=k.
过点A作AC⊥BN于点C,交BM于点P,此时PA+k·PB取最小值,最小值即为AC的长.
证明如图,在BM上任取一点Q,连结AQ,作QD⊥BN于点D.
由sin∠MBN=k,可得QD=k·QB.
所以QA+k·QB=QA+QD≥AC,即得证.
【例1】(2022?济南)抛物线y=ax2+x﹣6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx﹣6经过点B.点P在抛物线上,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式和t,k的值;
(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标;
(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,求CQ+PQ的最大值.
【例2】(2022?宜宾)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3,0)、B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),其顶点为点D,连结AC.
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点,使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形,求点F的坐标;
(3)在(2)的条件下,将点D向下平移5个单位得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求PF+PM的最小值.
【例3】(2022?东西湖区模拟)如图1,抛物线y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)与x轴交于A,B两点(A在B左边),与y轴交于点C.连接AC,BC.且△ABC的面积为8.
(1)求m的值;
(2)在(1)的条件下,在第一象限内抛物线上有一点T,T的横坐标为t,使∠ATC=60°.求(t﹣1)2的值.
(3)如图2,点P为y轴上一个动点,连接AP,求CP+AP的最小值,并求出此时点P的坐标.
【例4】(2022?成都模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴,x轴分别相交于A(0,2),B(2,0),C(4,0)三点,点D是二次函数图象的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)点P为抛物线上异于点B的一点,连接AC,若S△ACP=S△ACB,求点P的坐标;
(3)M是第四象限内一动点,且∠AMB=45°,连接MD,MC,求2MD+MC的最小值.
1.(2022?河北区二模)已知抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象与x轴交于A(1,0),B两点(点A在点B左侧).与y轴相交于点C,顶点为D.
(Ⅰ)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)若点P是y轴上一点,连接BP,当PB=PC,OP=2时,求b的值;
(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4,0),对称轴交x轴于点E,点Q是线段DE上一点,点N为线段AB上一点,且AN=2BN,连接NQ,求DQ+NQ的最小值.
2.(2021?南海区二模)如图1,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A、B分别位于原点左、右两侧,且AO=2BO=4,过A点的直线y=kx+c交y轴于点C.
(1)求k、b、c的值;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△ACP为直角三角形?若存在,直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M为线段AC上一点,连接OM,求AM+OM的最小值.
3.(2021?宝安区模拟)(1)已知二次函数经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3),请求该抛物线解析式;
(2)点M为抛物线上第二象限内一动点,BM交y轴于点N,当BM将四边形ABCM的面积分为1:2两部分时,求点M的坐标;
(3)点P为对称轴上D点下方一动点,点Q为直线y=x第一象限上的动点,且DP=OQ,求BP+BQ的最小值并求此时点P的坐标.
4.(2021?南沙区一模)已知,抛物线y=mx2+x﹣4m与x轴交于点A(﹣4,0)和点B,与y轴交于点C.点D(n,0)为x轴上一动点,且有﹣4<n<0,过点D作直线l⊥x轴,且与直线AC交于点M,与抛物线交于点N,过点N作NP⊥AC于点P.点E在第三象限内,且有OE=OD.
(1)求m的值和直线AC的解析式.
(2)若点D在运动过程中,AD+CD取得最小值时,求此时n的值.
(3)若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5:6时,求AE+CE的最小值.
5.(2
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