拔尖2024年中考数学压轴题突破（全国通用）专题10二次函数与圆存在性问题（教师版）.docxVIP

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题10二次函数与圆存在性问题

二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.

二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.

【例1】（2022?闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．

（1）求抛物线的表达式；

（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．

当⊙G与⊙E内切时．

①试证明EF与EB的数量关系；

②求点F的坐标．

【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；

（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；

②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．

【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．

设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），

∵抛物线经过点C（0，4），

∴4＝﹣3a．

解得．

∴抛物线的表达式是；

（2）①由于⊙G与⊙E内切，

当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，

设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，

∴GB＝t＜GE＝4t，

∴点E在线段CB的延长线上．

又∵已知点E在线段BC上，

∴矛盾，因此不存在．

当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，

又∵GE＝GB﹣EB，

∴EF＝EB；

②∵OC⊥OB，FD⊥OB，

∴∠COB＝∠EDB＝90°．

∴．

∴设BD＝t，则DE＝；

在Rt△BED中，由勾股定理得，

．

∴，

∴F坐标为（3﹣t，3t），

∵F点在抛物线上，

∴，

∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．

∴F坐标为（，）．

【例2】（2022?福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．

（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．

【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．

在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），

∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，

∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，

∴点A（﹣2，0），点B（6，0），

把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得

，

解得，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．

故答案为：y＝x2﹣x﹣3．

（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，

联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，

化简得＝0，

xN+xM＝﹣＝4（k+1），xNxM＝＝8k﹣12..........①，

联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，

化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，

yM+yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2................②，

线段MN的中点就是圆的圆心，

∴xO＝（xN+xM）＝2（K+1），

代入直线方程得yO＝2k2，

∴圆心坐标为（2k+2，2k2），

直径MN＝＝，

把①、②代入上式化简整理得