第24讲-波函数、薛定谔方程.ppt

*第24讲波函数薛定谔方程波函数薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限深势井波函数微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。自由粒子的波函数自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。设描述粒子运动状态的波函数为，则空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称概率波波函数又称概率幅取比例系数为1，即1926年提出了对波函数的统计解释因概率密度故在矢端的体积元内发现粒子的概率为在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中粒子出现的概率为1。此条件称为波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件符合不符合不符合不符合德布罗意波（概率波）不同于经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则个处的能流密度增大C倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。某粒子的波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求积分得：得到归一化波函数：概率密度得令求极大值的x坐标解得另外两个解处题设处最大薛定谔方程经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获1933年诺贝尔物理学奖它的波函数所满足的方程为当其运动速度远小于光速时质量为的粒子在势能函数为的势场中运动它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中，为哈密顿算符，（能量算符）则一维运动粒子的含时薛定谔方程若粒子在势能为的势场中运动定态薛定谔方程定态波函数：能量算符薛定谔方程其概率密度与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：所谓“定态”，就是波函数具有形式定态波函数中的称为振幅函数（有时直称为波函数）。的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。若已知势能函数，应用定态薛定谔方程可求解出，并得到定态波函数续上一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱。应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。一维无限深势井续上求解阱内