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考点22抛物线(核心考点讲与练)
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2=2px
(p0)
y2=-2px
(p0)
x2=2py
(p0)
x2=-2py
(p0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0))
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2)))
离心率
e=1
准线方程
x=-eq\f(p,2)
x=eq\f(p,2)
y=-eq\f(p,2)
y=eq\f(p,2)
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
1.求抛物线的标准方程的方法:
①求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
(2)利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.
2.确定及应用抛物线性质的技巧:
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
②要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
抛物线的定义与方程
一、单选题
1.(2022·广东·二模)已知抛物线E:,圆F:,直线l:(t为实数)与抛物线E交于点A,与圆F交于B,C两点,且点B位于点C的右侧,则△FAB的周长可能为(???????)
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2022·江苏·海安高级中学二模)已知抛物线的焦点为F,准线为l.点P在C上,直线PF交x轴于点Q,且,则点P到准线l的距离为(???????)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2021北京市第八中学高三10月月考)已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为,则点的纵坐标为()
A.B.C.D.
二、多选题
4.(2022·广东韶关·二模)已知抛物线的焦点为F,准线l交x轴于点D,直线m过D且交C于不同的A,B两点,B在线段AD上,点P为A在l上的射影.线段PF交y轴于点E,下列命题正确的是(???????)
A.对于任意直线m,均有AE⊥PF
B.不存在直线m,满足
C.对于任意直线m,直线AE与抛物线C相切
D.存在直线m,使|AF|+|BF|=2|DF|
5.(2022·山东潍坊·二模)已知四面体ABCD的4个顶点都在球O(O为球心)的球面上,△ABC为等边三角形,M为底面ABC内的动点,AB=BD=2,,且,则(???????)
A.平面ACD⊥平面ABC
B.球心O为△ABC的中心
C.直线OM与CD所成的角最小为
D.若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等,则点M的轨迹为抛物线的一部分
6.(2022·山东聊城·二模)已知抛物线:()的焦点到准线的距离为2,过的直线交抛物线于两点,,则(???????)
A.的准线方程为
B.若,则
C.若,则的斜率为
D.过点作准线的垂线,垂足为,若轴平分,则
7.(2022·辽宁葫芦岛·一模)已知抛物线过点,焦点为F,则(???????)
A.点M到焦点的距离为3
B.直线MF与x轴垂直
C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D.过点M与C相切的直线方程为
三、填空题
8.(2022·辽宁沈阳·二模)已知抛物线的焦点为F,在C上有一点P,,则点P到x轴的距离为______.
抛物线的几何性质
1.(2021北京八中高三上学期
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