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考点26概率、二项分布与正态分布(核心考点讲与练)
1.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
2.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
3.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型,简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是eq\f(1,n);如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=eq\f(m,n).
4.古典概型的概率公式
P(A)=eq\f(事件A包含的可能结果数,试验的所有可能结果数).
5.全概率公式
(1)完备事件组:
设Ω是试验E的样本空间,事件A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,满足:
①A1∪A2∪…∪An=Ω.
②A1,A2,…,An两两互不相容,则称事件A1,A2,…,An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间,A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且有P(Ai)0,i=1,2,…,n,eq\o(∪,\s\up6(n),\s\do4(i=1))Ai=S,则对任一事件B,有P(B)=eq\i\su(i=1,n,P)(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
6.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①定义:在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式:在一次试验中事件A发生的概率为p,则n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
(2)二项分布:在n次独立重复试验中,事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q=1-p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X=k)=Ceq\o\al(k,n)pkqn-k,其中k=0,1,2,…,n.于是X的分布列:
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq\o\al(0,n)p0qn
Ceq\o\al(1,n)pqn-1
…
Ceq\o\al(k,n)pkqn-k
…
Ceq\o\al(n,n)pnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
7.正态分布
(1)正态曲线:正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线,其函数表达式为f(x)=eq\f(1,\r(2π)·σ)e-eq\f((x-μ)2,2σ2),x∈R(其中μ,σ为参数,且σ0,-∞μ+∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π));
④当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σX≤μ+σ)=0.682__6;
②P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.954__4;
③P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.997__4.
1.求古典概型概率的基本步骤:
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)=,求出P(A).
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
3.判断随机变量X服从二项分布的条件(X~B(n,p))
①X的取值为0,1,2,…,n;
②P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n,p为试验成功的概率).
[提醒]在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为独立重复试验,进而判定是否服从二项分布.
4.超几何分布的特点
(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出.
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型.
5.正态分布下的概率计算常见的两类问题
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知
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